みなさん、こんにちは。
受験Dr.算数科の江田です。

今回は「〇でわると△あまる整数」について、
その中でも最も基本となる問題を取り上げます。

たとえば、
「8でわると3あまる整数」
を小さい順に5つ書き出してみてください。
(ぜひお子様にも聞いてみてください。)

正解は下のようになります。

3，11，19，27，35

いかがでしょう。

一番小さい整数が3ではなく11になってしまっているお子様はいませんでしたか？
これ、結構多く目にする間違いです。

8でわると3あまる最も小さい整数は
8でわったときの「商が0」であまりが3のときなんですね。
つまり、
□÷8＝0あまり3
となる場合の□にあてはまる整数です。
よって、
□＝8×0＋3＝3
が最も小さい整数とわかります。

ということで、あらためて書き出すと

3，11，19，27，35

となっており、これは
「はじめの数が3で、8ずつ増えていく等差数列」
であることがわかります。

そう、つまり
「〇でわると△あまる整数」
というのは、
「はじめの数が△で、〇ずつ増えていく等差数列」
となっているんですね！

よって、たとえば
「8でわると3あまる整数のうち、小さい方から100番目の数は？」
という問いに対する答えは、

3＋8×(100－1)＝795

と求めることができます。

さて、ここで今の問題を次のように考えてみます。

「8でわり切れる整数」だったら、それすなわち「8の倍数」ですよね。
よって、「8でわると3あまる整数」は
「8の倍数よりも3大きい数」
と考えることができます。

つまり、
「8×□＋3」
という式で表せる整数となります。
(〇÷8＝□あまり3　→　〇＝8×□＋3　と説明することもできます。)

この式
「8×□＋3」
の□にあてはまる数のうち、最も小さい数は？

そう！
1ではなく0ですね。
よって、8でわると3あまる最も小さい整数は
8×0＋3＝3
と求められますし、
この式の形で考えると、
先ほどの「小さい方から100番目の数」は
□に100ではなく99を入れたときの
8×99＋3＝795
とわかります。

いかがでしょう。

「〇でわると△あまる整数」
を
等差数列としてとらえる
〇の倍数よりも△大きい数としてとらえる
という2つのアプローチ法を紹介しました。

どちらも汎用性・重要度の高いとらえ方ですので、
ぜひお子様と一緒に確認してもらえると幸いです。

今回はここまで。

また次回のブログでお会いしましょう！