最新記事 2021年11月23日

テーマ: 算数

円順列の問題~きれいな石のネックレス~

こんにちは、算数を担当しています佐々木です。

本日は、
円順列についてお話いたします。

円順列の問題を解くときのポイントは、
① すべての塗り方が何通りかを求める。
② 回転して同じものが何個あるかを求める。

この2点です。

例えば、4色で5カ所を塗り分ける場合
4色しかないので、5か所のうち2か所を同じ色に塗らないといけません。

まず、同じ色になる場所を選択します。
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②同じものが4つできるので、48÷4=12通り

それでは、
次に、5色で6カ所を塗り分けるとすると、何通りの塗り分け方があるでしょうか。

①ぬり方は、
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5×4×3×2×1×5=600
② 600÷5=120通りです。

では、さらに、
円形の段ボール紙に、下の図のように回りを同じ形にして7つの部分に分け、
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これらの部分に色を塗って塗り分けます。ただし、となりあう部分は異なる色をぬるものとし、この段ボール紙は自由に回転できるものとします。

(1) 赤、白、青、黄、紫、緑、黒の7色全部を用いて塗り分ける方法は何通りありますか。

【解答】
真ん中の塗り方は、7通りで、周りの塗り方は、5×4×3×2×1=120通りです。
よって、7×120=840通り

(2) 赤、白、青、黄、紫、緑、黒、ピンクの8色のうちの7色を使って塗り分ける方法は何通りありますか。

【解答】
7色の選び方は、8‐7=1より、1色を選ぶ選び方と同じになるので、8通り。
840×8=6720通り

(3) 赤、白、青、黄、紫、緑の6色全部を使って塗る分ける方法は何通りありますか。

【解答】
真ん中の塗り方は6通り
周りを塗るときは、5色しか使えないので6か所のうち2か所は同じ色

場所で場合分けすると、
ぬり方は、
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この9通り。
色の選び方は、真ん中の6通りをかけて
6×5×4×3×2×1×9パターン

回転させると同じになるものが、6通りできるので、
6×5×4×3×2×1×9÷6=1080通り

では、更に、首飾りを作ってみましょう。
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色が異なる7つの玉を用意します。

この玉にひもを通してネックレスを作ります。
ネックレスの種類は何通りできるでしょうか。

回転して同じになるものは1通りと数えるので、
7×6×5×4×3×2×1÷7=6×5×4×3×2×1
更に裏も同じになるので、6×5×4×3×2×1÷2=360通り

並べ方組み合わせの2種類の考え方をうまく組み合わせて
解き進めることを意識していきましょう!