最新記事 2020年10月20日

テーマ: 算数

円と三角形と比~思考のプロセス公開~

こんにちは、算数を担当しています佐々木です。

いきなりですが、

【問題】
半径4㎝の半円を、4つの直線によって5つの部分に分けます。ここで、図のC,D,Eは直線ABを4等分する点です。また、●の印がついた4つの角の大きさはすべて45度です。アとウの面積の和からイとエの面積の和を引くと何㎠ですか。
算数20201020_01

 
まずは結論から、
算数20201020_02
 
青い線PBを引くと、▲と△はそれぞれ等しいので、面積の差はありません。
三角形PABの面積は、8×4÷2=16㎠
それぞれ相似形が見つかるので、相似比から面積比を利用して
ア+ウの△と▲を除いた部分→⑦+③=⑩
イ+エの△と▲を除いた部分→⑤+①=⑥
よって、面積の差は、⑩-⑥=④
16×算数20201020_10=4㎠

という問題です。

本日は、この問題を見たときに、
生徒さんたちはどういう思考のプロセスをするのか
を考えていきたいと思います。

 

「アとウの面積の和からイとエの面積の和を引くと何㎠ですか。」
と最後に問題文に書いてあります。
そうすると、面積の差→面積を出すための長さを求める??
とまず考える生徒さんが多いのが事実です。
そして、ずーっとにらめっこが始まります。

 

算数20201020_03

 
アやイなどのそれぞれの面積や長さを出すことはできないのです。

じゃあ、どうやって考えるのか。

 

算数20201020_04
 
じゃ、とりあえず、結んでみよう!

算数20201020_05
 

45°の直角二等辺三角形が見えてきたぞ!

算数20201020_06
 
算数20201020_07

▲と△のそれぞれの面積は等しいので、差は0とわかります。
あとは、残っている4つの直角二等辺三角形の部分です。

 

算数20201020_08

 
ななめの三角形の部分は、平行線の中にある同じ形の三角形なので、
相似形を利用するということを思い出そう!

比で解決!!
算数20201020_09
 
AC:CD:DE:EB=1:1:1:1
なので、相似比は1:2:3:4
面積比は、1:4:9:16
よって1:(4-1):(9-5):(16-9)=1:3:5:7となります。

三角形PAB=8×4÷2=16㎠

となるので、面積の差は、⑦+③-(⑤+①)=④

16×算数20201020_10=4㎠

答え.4㎠

 
 
問題文を読んで、どこに注目するのか。
今回の問題のポイントは、

①円ときたら→円の中心と円周上の点を結ぶ
②平行線ときたら→相似形の利用

この2つのポイントを使えるかどうかが、解けるかどうかにかかってきます。

長さを出そうとしても解けない。
三角形と弧でできているアやイだけに注目しても解けないということに気付いて欲しいという思いでこちらを今回紹介しました。

思考プロセスを理解して、解法ではなく、見つけるべきポイントを
分かりやすく示せるようにしていきたいと改めて思った次第です。

円と並行線が引かれている三角形
この2つの図形が見えてくるといいですね。
そして、円の特徴、平行線の中の三角形の特徴を思い出すこと。

これが解くカギとなります。