最新記事 2020年04月10日

テーマ: 算数

高さの等しい三角形の見つけ方~底辺探し~

 

こんにちは、算数を担当しています佐々木です。

本日は、高さの等しい三角形の見つけ方についてお話いたします。

 

問題:三角形ABCを下の図のように、3本の直線で面積を4等分しました。

辺BD:辺DF:辺FCを求めなさい

 

0410_sasaki_1

 

上のような図計を6年生であれば見たことがあると思います。

長さの比を求めなさいという問題になると、

生徒さんたちは、すぐに長さを出そうとして、

三角形の面積の公式底辺×高さ÷2に当てはめようとします。

 

しかし、この問題は一切面積や長さはでていません。

 

ではどのように求めるのか。

 

もう一度問題に戻ると、

どういう情報が与えられているか見てみます。

 

「面積を4等分した」ここがポイントです。

 

面積を4等分したので、面積比は全て1:1:1:1となります。

つまり比を使うしかないということがわかります。

面積比から底辺比を求める

ためには、

高さが等しい三角形を探す

高さが等しいので比べられる

面積比から底辺比が求められる

 

という思考になります。

 

0410_sasaki_2.png

 

ここまでは理解しつつも、

その先に「高さの等しい三角形」を見つけることができない

という症状がでてきます。

 

本日のメインのお話はそこです。

じゃ、どうやって高さの等しい三角形をみつけるか。

 

底辺と頂点を決める

 

これが今日のポイントです。

 

三角形ABDと高さが等しい三角形はどれでしょうか。

 

まず、三角形は、3つの辺と3つの角度でできているということに

注目しましょう。

 

3つの辺のどこを底辺にしてもいいのです。

しかし、高さが等しい三角形を見つけるときは、

底辺を同じ位置に取らないといけません。

 

三角形ABDの底辺を例えば、辺ABとします。

高さを決める「頂点」は、点Dとなり、

 

0410_sasaki_3

 

頂点から底辺に向かって垂直に下した線が高さ

 

しかし、これだと高さが等しい三角形は見つかりません。

 

高さが等しい三角形は、頂点の1点に集まっているものです。

つまり、

底辺を決めたら、高さが等しい三角形は、

右か左(となり)にしかないのです。

その右か左を底辺として、頂点の1点に集まっているものを見つけます。

 

底辺をBDにすると、

頂点は点A

 

点Aに集まっていて、底辺が右か左に

あるもの

 

を探します。

 

0410_sasaki_4

0410_sasaki_5

 

底辺をDCとし、頂点Aに集まっているものは、

三角形ADCとなります。

 

辺BD:辺DC=①:③となります。

 

更に、辺DFと辺FCを求めたいので、

高さが等しい三角形を同じように探すと、

 

0410_sasaki_6

 

三角形EDFと三角形EFCが頂点Eに集まっている

高さの等しい三角形となります。

 

辺DFと辺FCは1:1

 

よって、先ほどの

辺BD:辺DC=①:③と

辺DFと辺FCは1:1

をあわせて連比すると、③=2となるので、6にそろえて、

辺BD:辺DF:辺DC=2:3:3となります。

 

同じように、

辺AE:辺ECも求めることができます。(答えは一番下の行にあります)

 

ぜひトライしてみてください。

高さの等しい三角形は、

 

まず底辺を決めて、頂点を見つける

頂点の1点に集まっている三角形を見つける

高さの等しい三角形は右か左にしかない

 

今日のポイントは以上3点です。

 

答えは、辺AE:辺EC=1:2となります。