最新記事 2021年10月21日

テーマ: 算数

数え方、模様は何通りできる?

みなさん、こんにちは。

受験ドクターの坂井です。

今回は、図形に色をぬって何通りの模様ができるかを皆さんと一緒に考えていきましょう。
少し難しいですが学年に関わらず取り組める問題ですので3年生、4年生のみなさんも一緒にかんがえてもらいたいと思います。

次のような正六角形を並べて作った図形があります。
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この図形に黄色か白の色をぬって、模様を作ります。
ただし、となりあう正六角形を同じ色でぬってもよく、色は一色しか使わなくてもかまいません。
また、回転して同じになる模様は同じ模様であることにします。

では、さっそく調べてみましょう。

まず、下の図のように回転しても見た目が何も変わらないような模様があります。
(このような模様をPの種類と呼ぶことにします)
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このような模様は次に示すように全部で4種類あります。

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つぎに下の図のように見た目には異なる模様に見えるが回転すると同じ模様になるような模様があります。(このような模様をQの種類と呼ぶことにします)

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※ 120°ずつ回転させるので3通りずつ存在することになります。

このような模様は次にしめす4種類になります。

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  以上より、Pの種類が4種類、Qの種類が4種類で合わせて 8通りということになります。

ここで、上記のPの種類、Qの種類に着目して、もう少し複雑な図形の模様を数えてみましょう。

 下の図に2色を使って模様を作ってみます。

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まず、Pの種類 から考えてみます。
➀,②,③の部分で同じ位置に色をぬると
回転しても見た目が何も変わらないような模様が
次に示すように4種類あることがわかります。

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これは➀の場所のぬり方だけを考えれば4通りであることはすぐにわかります。
➀の場所のぬり方は以下のような4通りで、2×2=4(通り)です。
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ここで、6個の正六角形の色のぬり方は全部で、2×2×2×2×2×2=64通り あります。
この64通りのぬり方からPの種類の4通りを除くと、残りは3通りずつ存在するQの種類のものになります。
よってQの種類は、(64-4)÷3=20通り となります。

以上より、4+20=24(通り)となります。

最後に、もう1題取り組んでみましょう。

下の図を2色でぬって模様を作ります。
何通りの模様ができましたか。
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今回は180°回転させて同じ模様になるかどうかを
考えていきます。

答えは下の図のように10通りになります。

Pの種類、Qの種類 に着目して解いてみてください。

Pの種類
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Qの種類
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それではみなさん、
またお会いしましょう。