最新記事 2019年12月05日

テーマ: 算数

席替え!元の位置に戻るためには?

みなさん、こんにちは。
受験ドクターの坂井 智則です。

さあ、2月1日まで60日を切りました。
残りの時間、志望校合格に向けて全力で頑張っていきましょう。
我々受験ドクターの講師陣もきみたちを全力でサポートしていきます!

今回は席替えの問題!
3人のうち2人が席を替わります。ただし、同じ2人が連続で席を替わることはできないとします。
このとき、席の替わり方は何通りあるのかというものです。

同じ2人が連続で席を替われないとは、次の図を例にするとBとCが席を替わった後に続けてBとCが席を替わることはできないということです。

席替え問題1

どこに着目するところから考えていこうかと途方に暮れてしまいそうですが、実はもとに戻るためには席替えの回数を偶数回行わなければならないのです。
このことは、次に示す右回り・左回りに着目すると容易に理解することができます。

【着目点:その1】

左回り・右回りに着目する!

⇒ 元の位置に戻るためには偶数回の席替えを行う!

席替え問題2

上の図で1がはじめの席だとすると元の位置は
ABC順番は左回りになっています。席替えを1回
行うと4か5か6のいずれかの位置になります。い
ずれも右回りの位置になります。さらにもう1回席
替えをするとまた左回りの位置になります。すなわ
ち、席替えを1回、3回、5回・・・・・と奇数回行うと
いずれも右回りの位置になり、元の位置には絶対
に戻ることができません。したがって、元の位置に
戻るためには、席替えを2回、4回、6回・・・・・偶
数回行う必要があることになります。
【着目点:その2】 2回席替えを行うと120度回転する!
上の図で1をスタートの位置とすると1回の席替えで4か5か6の位置になります。4からさらに1回席替えをすると同じ2人が連続で席替えすることができないことを考慮すると2か3の位置に戻ります。5からさらに1回席替えをしても6からさらに1回席替えをしても2か3の位置に戻ります。つまり、1の位置から2回席替えを行うと4、5、6のどの位置を経由しても2か3の位置になります。2回の席替えで1から2の位置に変わるということは反時計周りに120°、1から3の位置に変わるということは時計回りに120°回転することになります。

 

では、問題!
8回の席替え元の位置に戻るためには何通りの席替えの方法があるのか
を考えていきましょう。

着眼点その2の2回の席替えを「1ターン」ということにすると、8回の席替えで元の位置に戻るということは、
「4ターン」を行うということになります。

「4ターン」でもとの位置に戻るためには、反時計周りに120°時計周りに120°をそれぞれ2回ずつ合計4回動くということになります。調べてみるとそれぞれが( 0回,4回 )や( 1回,3回 )では元の位置にもどってこられません。
反時計周りに120°をA、時計周りに120°をBとするとAとBの順番はどうでもよいので、

① A A B B
② A B A B
③ A B B A
④ B A A B
⑤ B A B A
⑥ B B A A         の6通り。

1ターン目にAの動きをするためには1から4または5、または6を経由して2になりますので3通り。同様に1ターン目にBの動きをする席替えの方法も3通りあります。つまり、1ターン目はAであろうがBであろう席替えの方法はどちらも 3通り あることになります。
しかし、2ターン目は少し注意が必要です。

席替え問題3

1ターン目を1⇒4⇒2と動いたとします。
同じ2人が連続して席替えをすることができないので2の次に4の位置になる席替えはできませんし、2の次は5か6になりますが、5の次に2の位置になる席替えもできません。

したがって、1ターン目が終わったとき2の位置にあり、その後2ターン目を終えて1に位置になる方法も3の位置になる方法も2通りになります。つまり、2ターン目以降は、AであろうがBであろうが席替えの方法は2通りあることになります
以上より、A,Bの順番の決め方が6通り、1ターン目は3通り、2ターン目、3ターン目、4ターン目はいずれも2通りあるので、 8回の席替えで元の位置に戻る方法は、

6×3×2×2×2=144通り   になります。

それでは、みなさん
またお会いしましょう。