最新記事 2022年03月07日

テーマ: 算数

受験算数のコツ!整数を連続する整数の和で表す

みなさん、こんにちは。受験ドクターの亀井章三です。

塾での新学年がスタートして一か月。学習のペースには慣れて
きましたか?
この時期は、トップスピードで走ることよりも、継続して走り続けること
のできる「勉強の持久力」を養うことが大切です。
2時間集中して学習⇨休憩 というオンオフを上手く取り入れましょう。

さて、今年の入試問題で私が「えっ!」と驚いたのが、筑波大附属駒場中の
問題です。

【1】ある整数を、2個以上の連続した整数の和で表すことを考えます。
   ここでは、整数〇から整数△までの連続した整数の和を(〇~△)と
   書くことにします。
   たとえば、9=2+3+4なので、9は(2~4)で表せます。
   9を2個以上の連続した整数の和で表すとき、考えられる表し方は
   (2~4)と(4~5)のちょうど2種類です。
   次の(1)から(3)の整数を、2個以上の連続した整数の和でそれぞれ
   表すとき、考えられる表し方を(〇~△)のようにしてすべて答えなさい。

   (1)50  (2)1000  (3)2022

どうして「えっ!」と驚いたのか、それは、この問題が過去にいろいろな学校で
題材として取り上げられた有名な問題だからです。

たとえば、開成中は2018年入試の大問3で、正方形のマス目に連続する整数
を書きこむ、という形式で出題しています。

多くの受験生は解法が分かっていたので、解きやすかったと思われます。

もしかしたら今後も「過去の名作問題」がリメイクされて出題される、なんてこと
もありそうなので注意が必要です。

そこで今回はこの「連続する整数の和で表す問題」の解法を説明してまいります。

連続する整数の和は次のような「階段状の図形」にすることができます。
2022_0307_blog1

これを上下ひっくり返した図形を作り、左右にくっつけます。

2022_0307_blog2

そうすると、たてが「連続する整数の個数」、横が「最初と最後の数の和」
でできた長方形になります。

個数が奇数だと、最初と最後の和は必ず偶数に
個数が偶数だと、最初と最後の和は必ず奇数になります。

つまり、ある数を2倍し、2数の積の形で表したとき
奇数×偶数の形になっていれば、必ず連続する整数の和で表せるということです。

たとえば筑駒の問題(1)50の場合、
50×2=100
100=1×100、2×50、4×25、5×20、10×10
このうち奇数が入っているのは、1×100、4×25、5×20の3通りです。
1×100の場合「最初と最後の和が100になる、1個連続する数」もしくは
「最初と最後の和が1になる、100個連続する数」となり、どちらもありえないので
これは式になりません。
4×25の場合「最初と最後の数の和が25で4個連続する数」となり、
11+12+13+14=50となります。
5×20の場合「最初と最後の数の和が20で5個連続する数」となり、
8+9+10+11+12=50となります。
よって、(11~14)と(8~12)の2通りできます。

(2)(3)も同じように考えてみましょう。

(2)1000
1000×2=2000
2000=2×2×2×2×5×5×5より、
2000=5×400、25×80、125×16 の3通り考えられます。

5×400→最初と最後の和が400で5個連続→(198~202)
25×80→最初と最後の和が80で25個連続→(28~52)
125×16→最初と最後の和が125で16個連続→(55~70)
答えは、(28~52)(55~70)(198~202)です。

(3)2022
2022×2=4044
4044=2×2×3×337より、
4044=3×1348、337×12、1011×4 の3通り考えられます。

3×1348→最初と最後の和が1348で3個連続→(673~675)
337×12→最初と最後の和が337で12個連続→(163~174)
1011×4→最初と最後の和が1011で4個連続→(504~507)
答えは、(163~174)(504~507)(673~675)です。

次回も有名算数問題について取り上げたいと思います。お楽しみに。