最新記事 2021年10月04日

テーマ: 算数

受験算数のコツ!相似の問題part2

みなさん、こんにちは。受験ドクターの亀井章三です。

今日のテーマは、「面倒な相似や面積比の問題を解くコツ」part2です。
相似や面積比を使った問題は、多くの学校で出題される単元です。
与えられた図から必要な情報を読み取る作業は難しく、
どう考えていいのかわかりにくいです。
そんな相似や面積比の問題を楽に解けるようにするコツを2つ以前ご紹介
いたしました。
それは「背筋を伸ばして」と「具体的に」です。

「背筋を伸ばして」は直角が入ってない平行四辺形や三角形を、
直角が入った長方形や直角三角形に書き換えることで、面積を計算しやすく
し、何をしたら良いかわかりやすくするコツです。

「具体的に」は、与えられた比に「㎝」の単位をつけ、具体的な長さにしてしま
うというもの。比がたくさん出てくるとわかりにくくなりますが、具体的な長さで
あれば面積も出せるのでわかりやすくなります。

今回は、この2つのコツの復習として、普通に解くと面倒な相似・面積比の
問題での使用例を新たにご紹介いたします。

【問題】
右の図のABCDは長方形で、AE:EB=CG:GD
=2:1、BF:FC=DH:HA=3:1、AFとED、BGの
交点をそれぞれP、Q、HCとBG、EDの交点を
それぞれR、Sとします。
四角形PQRSの面積は四角形ABCDの面積
の何倍ですか。
2021_1004_blog1

一般的な解法は、
①⊿ABQと⊿AEPの相似比から、EP:BQを求める
②⊿BRCと⊿BQFの相似比からBQ:QRを求める
③EPとRGの長さが等しいことから、連比を用いてBQ:QR:RGを求める
④四角形BGDEが四角形ABCDの何倍の面積か求める
⑤四角形PQRSが四角形BGDEの何倍の面積か求める
⑥四角形PQRSが四角形ABCDの何倍の面積か求める
というふうに、相似形の場所はいろいろ組み合わせがありますが、
2つの相似比→連比で1つの比→面積比
という流れで解くため、手順が多くなり覚えるのも大変です。
また手順が多いと計算ミスも多くなります。

そこで、「背筋をのばして」「具体的に」です。
背筋を伸ばす=直角を作るということで、
この図形を、PQRSが長方形になるように書きなおします。
それが下の図です。

2021_1004_blog2

直角が多くなり、一気に計算できそうな雰囲気が出てきました。

次は「具体的」です。比の数字に単位をつけて、そのまま長さにします。
相似比の性質を活かし、
AE:EB=AP:PQ=2:1 より、AP=2㎝、PQ=1㎝と設定します。
同様に、BF:FC=BQ:QR=3:1より、BQ=3㎝、QR=1㎝とします。
他の辺も、CR=2㎝、RS=1㎝、DS=3㎝、SP=1㎝となります。

そうすると、四角形PQRSも四角形ABCDも簡単に面積を求められます。

PQRS PQ×QR=1×1=1㎠
ABCD PQRS+ABQ+BCR+CDS+DAP(真ん中の長方形とまわりの直角三角形4つ)
    =1+3×3÷2×2+2×4÷2×2
    =1+9+8
    =18㎠

したがって、PQRSの面積はABCDの面積の1/18倍となります。

最初に図を描き直しさえすれば、計算だけで楽に解けます。
「比」で四苦八苦している方は、この「比から解放される解法」
使ってみてください。

また次回お会いしましょう。