みなさん、こんにちは。受験ドクターの亀井章三です。

今回は３つ以上の不定方程式について解説します。
不定方程式は解が１通りに限定されない式です。
たとえば、２×〇＋３×□＝２０、という式を満たす整数〇、□の組は
（10、0）（7、2）（4、4）（1、6）の４組あります。
２種類であれば片方を調べていくことでみつけることができます。
この記号が３種類以上になったものが、３つ以上の不定方程式です。
たとえば、２×〇＋４×△＋５×□＝３０、という式を満たす整数〇、△、□の
組を求める、というものです。

そこでポイントとなるのが仲間外れです。

具体的に問題を使って説明していきます。

これは４つの不定方程式になっています。
同じような問題が女子御三家の学校でも出題されていて、かなり有名な
問題です。

まずは式にしてみます。
さばをＡひき、あじをＢひき、いわしをＣひき、さんまをＤひき　買ったとします。

１３０×Ａ＋１７０×Ｂ＋７８×Ｃ＋１０４×Ｄ＝３６００

とりあえず、１３０、１７０、７８、１０４、３６００の全てが偶数なので
全体を２で割り、数字を小さくします。

６５×Ａ＋８５×Ｂ＋３９×Ｃ＋５２×Ｄ＝１８００

ここからひとつずつ調べていくのは大変。
そこで、もう一度Ａ～Ｄにかけている数字を見てみましょう。

６５、８５、３９、５２　この中には１つ仲間外れの数字があります。
それは何でしょう？

５２、という答えがまず思いつくでしょうか。
これだけ偶数、あとは奇数。

たしかに。まだ他にもありますがわかりますか？
その数字は、８５です。
残りの６５、３９、５２にはある共通点があります。

そう、６５、３９、５２は全て１３の倍数です。

この〇〇の倍数という共通点を使うと覚えておきましょう。
先ほどの奇数という共通点は「２の倍数＋１」なので使いにくい条件です。

そうすると、６５×Ａ、３９×Ｃ、５２×Ｄは
１３×（５×Ａ）、１３×（３×Ｃ）、１３×（４×Ｄ）となり、積は全て１３の倍数です。
よって、６５×Ａ＋３９×Ｃ＋５２×Ｄの答えも１３の倍数です。

では、１８００はどうでしょう。
１８００÷１３＝１３８あまり６ということで、１３の倍数＋６という数です。

このあまりの「６」、これはどこから来たのでしょう？
そう、仲間外れの８５×Ｂから来ています。

１８００÷８５＝２１あまり１５より、
Ｂは、

・１以上２１以下の数
・８５×Ｂを１３で割ると６余る

という２つの条件を満たす数になります。

調べていきましょう。
すると、Ｂ＝１２のとき、８５×１２＝１０２０、１０２０÷１３＝７８あまり６となり
条件を満たす数だと分かります。

ここから、問題で聞かれているあじの数は１２ひきと求められます。