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投稿日:2020年07月03日

テーマ: 算数

約数の個数➀

みなさん、こんにちは。

受験ドクター算数科の江田です。

 

 

20191021日のブログ

支払うことのできる金額?②

の中で、

約数の個数を計算で求める方法

について触れました。

今回のブログでは

その応用問題について触れたいと思います。

塾に通う5年生以上であればすでに習ったお子様も多いはずですが、

難易度が高めなので、なかなか定着させることが難しいものだと感じています。

 

約数の個数を計算で求める方法

について、よくわからない・知らないという方は

過去(20191021日)の私のブログ

支払うことのできる金額?②

に目を通していただいてからの方が良いですよ。

 

ではいってみましょう!

 

【問】

1から50までの中で約数を3個持つ整数をすべて答えなさい。

 

 

 

(考え中…)

 

 

 

(考え中……)

 

 

 

さて、いかがですか。

 

もちろん、

1から50までのすべての整数について

それぞれ約数を何個持っているのか調べるわけではありません。

 

たとえば24の約数は何個あるのかを考えるとき、

242×2×2×3

   3個  1

と素因数分解でき、

「×2」が3、「×3」が1

あるので、24の約数は

31)×(11)=8(個)

と求められましたね。

 

 

今回の問題では

「約数を3個持つ整数を素因数分解したら、どのようなかたちで表されるのか

を考えればよいわけです。

 

 

ここで、約数を3個持つ整数をNとしてみます。

このNを素因数分解したときに

N=A×A (←2つのAは“同じ数”であることを意味しています。)

というかたちで表されるとき、

「×A」が2個あるので、このNの約数は

213(個)

と決まりますね。

 

これ以外に「約数が3個」となる素因数分解のかたちはありませんので、

N=A×A

のかたちにあてはまるようなNだけ答えればよいのです。

 

ここで忘れていけないのは、

「Aにあてはまるのは素数」

であることです。

そりゃそうですよね♪

「素因数分解したかたち」なのですから、

11つの数は素数しかありえません。

 

ということで、

Aにあてはまる数(素数)は小さい方から

23571113,……

と続いていきますが、

Nは1から50までの数なので

2×24 ◯

3×39 ◯

5×525 ◯

7×749 ◯

11×11121 ✕(←50をこえるので不適)

というように調べていくと、

今回の問題では

492549

の4つがふさわしいということになります。

 

このように

「約数を◯個もつ整数」

を考えなければならないときは、

「素因数分解したら、どのようなかたちで表されるのか」

を考えていくことがポイントになります。

 

次回、より応用レベルの問題を扱ってみたいと考えております。

 

それでは今回はここまで。

またお会いしましょう!

算数ドクター