こんにちは。算数を担当しています佐々木裕子です。

本日は、場合の数に焦点を当てて3年生の問題と6年生の問題を比較していきたいと思います。

3年生で習うときの「場合の数」と、6年生で解く「場合の数」は、同じなのかまたはそうではないのかと申しますと、同じです。ただ、使われている言葉が違ったり、誘導しながら答えを導き出す方法を3年生では示し、6年生では問題の根本が和分解と順列が複合的にでていたりと、出し方が変わってきます。

具体的に見ていきましょう。

3年生バージョンでいくと、

11このキャラメルをけん君、みきちゃん、かなた君の3人で、もらえない人が出ないようにあまりなく分けます。ただし、けん君とみきちゃんのもらうこ数の合計が、かなた君のもらうこ数より少なくなるようにします。次の問題に答えましょう。ひつようであれば下の表を使って考えてもかまいません。

(1)　けん君のもらうキャラメルが1こになるわけ方は何通りあるでしょう。
(2)　(1)の分け方もふくめて、キャラメルの分け方は全部で何通りあるでしょう。

解答：
(1)けん君が1個の場合を表に書いて、みきちゃん、かなた君の個数が何個になるか書いてみましょう。
また、書き出すときに、小さい順などルールにしたがって書いていくと数えミスがなくなるでしょう。

（けん、みき、かなた）
（1，1，9）
（1，2，8）
（1，3，7）
（1，4，6）

と書き進めます。けん＋みき＜かなた　の条件を満たすのは上記4つです。

答え.4通り

（2）では、けん君が2個、3個、4個・・・となるとき、みきちゃん、かなた君が何個になるか表を埋めてみよう。
（2，1，8）
（2，2，7）
（2，3，6）
（2，4，5）・・・←ただ、これは、けん＋みき＝2＋4＝6個となってしまい、かなた君の個数5個より多くなってしまいます。これは条件に合いません。
よって、けん君が2個の場合は3通り、
では、けん君が3個のとき、4個のときを条件に合わせながら書きすすめていきます。

(3，1，7)
(3，2，6)
(3，3，5)・・・←これは条件に合わない

(4，1，6)
(4，2，5)・・・←これは条件に合わない

ということになり、全部で、4＋3＋2＋1＝10通り

では、6年生で出てくる問題ではどうでしょうか。

問題：
ガム、キャラメル、キャンデーがそれぞれたくさんあります。この中から7個を選び、袋に入れてお菓子のつめ合わせ袋を作ろうと思います。どのお菓子も必ず1個以上は入れるとすると、異なるつめ合せ袋は何種類できますか。

少なくとも1種類以上は詰めるので、7-3＝4個、残り4個のつめ方になります。
ガム、キャラメル、キャンデー
(4，0，0 ）
(3，1，0)
(2，2，0)
(2，1，1)
と分け方は4種類になります。

その4種類を今度は、並べ替えると、
(4，0，0)←3通り　どれが4個になるかなので
(3，1，0)←3×2×1＝6通り
(2，2，0)←3通り　どれが0個になるかなので
(2，1，1)←3通り　どれが2個になるかなので

よって、3×3＋6＝15通り

3年生では、誘導式で条件があり、11個の和分解で、人が限定されていました。
6年生では、和分解＋順列というように複合的アプローチが必要になります。
組合せと順列の融合です。3年生では、誘導式になっていたからと言って、簡単かというとそうでもないです。

「和分解」という言葉は3年生ではでてこないかもしれませんが、いずれ6年生になったときに、結び付けて解けるようにしていくことが大切です。
そのためにも、
3年生の段階から、考え方の根本は同じなので、
「どうやって場合分けしたか」の理由を言えるようにしておくとよいでしょう。
「なんで？」と聞いてあげることから始めるといいでしょう。