最新記事 2021年04月06日

テーマ: 算数

【平面図形】相似比と面積比の関係

皆さま、こんにちは!
桜の美しい季節になりました。
桜の咲く春が、日本で一番美しい季節なのは誰もが認めるところでしょう。
私は4年ほど海外で生活していたことがあるのですが、4月は本当に日本の桜が恋しかったです。
刹那に咲き誇る桜に美を見出す日本人の感覚は、おそらく永遠に変わらないのでしょうね。

さて、前回は面積比の基本をざっとおさらいしました。
特に面積比の基本中の基本である「双子山」ついて解説しましたね。
「双子山」というのは、以下のような図のことを指しました。

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前回、前々回と、これを知っているだけでもほとんどの「面積比」の問題は解けます、とまで言い切りました。
学生時代の私は実際にこれしか知らなかった、と言っても過言ではない、とも言いました。
しかし、あらためて考えてみると、それはちょっと言い過ぎだったかな、とちょっと反省しています。
それくらい「双子山」が大切です、ということがわかってもらえればいいのですが、誇張しすぎました。
ほとんどの問題が「双子山」だけでも解けるのですが、もうひとつだけ知っておきたいことがあります。
それが今日あつかう「相似比と面積比」の関係です。

授業で「相似比が2:3の相似形の面積比は?」と聞いたときに「2:3??」と答えるお子さんがいます。
そのような場合、「双子山」の話と区別がついていないことがほとんどです。

面積の基本が「たて×よこ」なんだということを、正しくイメージできていないとそうなります。
なんとなくそんな話があったよなー、くらいの理解では色々なことがごっちゃになってしまいますね。
理屈を正しく理解することを意識しましょう。

下の図のように、相似形であるということは、たて(高さ)もよこ(底辺)も、同じだけ拡大されています。
底辺が2倍なら、同時に高さも2倍になっているということです。
以前に、たての比とよこの比がわかっているなら、面積比はたての比×よこの比ですよ、と解説しました。
ですから、底辺も高さも2倍なら、面積は4倍になっているということです。

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先ほどの「相似比が2:3の相似形の面積比は?」という問いには、「4:9」と答えるのが正しいです。
底辺比が2:3で、髙さ比も2:3なら、面積比は(2×2):(3×3)で4:9になるのです。
ということで、相似比がa:bなら、面積比は(a×a):(b×b)という公式が生まれます。
これは三角形に限らず、すべての相似形に対して成り立ちます。
四角形でも五角形でも、相似形なら必ず成立しているということも理解しておきましょう。

以上のことが理解できると、「双子山」と「相似比と面積比」の2つの重要な考え方を得たことになります。
この2つがあれば、今度こそこの2つだけで、ほとんどの面積比の問題は解けます。
つい先日も「相似と面積比」が苦手だというお子さんに授業をしました。
そのときも、この2つをきちんと教え直しただけで、急に問題が解けるようになっていました。
「難しく考えずに、当たり前に考えてごらん」と私は授業で良くアドバイスします。
中学受験生の多くは、様々なテクニックを教えてもらっているせいで、逆に混乱していることも多いです。
そういう場合は「あれもこれも覚えないと」とするより、「これだけ知っていれば大丈夫」とするべきです。
できるだけシンプルな頭の使い方を心がけたいですね。

それでは、今日はここまでです。
また次回お会いしましょう!