最新記事 2020年05月11日

テーマ: 算数

【平面図形】見つからなければ作ってみよう②

 

 

皆さま、こんにちは!

5月になりましたね。

今年の4月は妙に寒くなかったですか?

外出を控えていたのであまり気にならなかったかもしれませんが、私はやけに寒いなーと感じていました。

暑い夏が待ち遠しいですね。

その頃には、みんなで海に出かけたりできるようになっているといいですが…。

今年は難しいですかね。

まあ、何はともあれ一日一日やるべきことをしっかりやっていきましょう。

 

さて、前回は「相似」の応用問題を扱いました。

与えられた図に相似形が見当たらないときは、自分で補助線を引いて作りましょう、という内容でした。

今回は、その続きです。

上手い補助線を引くことで問題が解決することを、今回も練習しましょう!

ではさっそく下の問題を考えてみてください。

 

0511_takada_01

 

有名問題ですね!

メネラウスの定理という公式すら存在する、メチャクチャ重要な形です。

色々な解き方がありますが、最もオーソドックスな解法は、補助線として平行線を引くことです。

前回も出てきましたね?

そうです、平行線は相似形を生む!です。

さあ、この場合はどこにどう平行線を入れるのが正解でしょうか?

うまく相似形を作り出す平行線を考えてみてください。

どんな補助線を引くかは、センスと経験が試されますよ。

 

それでは解説します!

まずは以下のように補助線を入れるのが、一番オーソドックスな解法です。

 

0511_takada_02

 

Eを通ってBDに平行な線を引くのですね。

こうすると、以下のように2通りの相似形を作っていることになります。

 

0511_takada_03

 

この場合は、相似形というよりも、平行線を使って比を移すという感覚で十分問題は解けます。

ただ、補助線の引き方の練習としては、相似形を作り出している、と理解した方が応用が利くと思います。

やはり、ひとつの問題を解くことで、他の様々な問題に応用が利くようになる方が効率的です。

そのためには、どういうことに注目して解いているのか、を意識して練習した方が良いでしょう。

この補助線が引ければ、あとは以下のように解決します。

 

0511_takada_04

 

まず3:4という比が、BC上に移動できます。

そしてAC上で連比(比合わせ)をします。

 

0511_takada_05

 

すると、AC上が21:20:15に分かれていることがわかります。

あとは、21:20がAF:FEと等しいことに気が付けば終わりですね。

 

0511_takada_06

 

いかがですか?

上手く解けましたでしょうか?

いま解説した手順は、他の問題にも応用が利くとても重要なものなので、ぜひ練習してみてください。

必ず役に立ちます。

 

さて、前回の最後で、別解を考える重要性について書きました。

この問題でも、実は色々な補助線が考えられます。

例えば、以下のような補助線でも解くことが可能です。

興味がある方は、この補助線でも解けることをぜひ確認してみてください。

 

0511_takada_07

 

重要なことは、どちらの補助線も①平行線を引いている、②2つの相似形を作っている、ということです。

これは、補助線を引くときの大切な方針になります。

うまく補助線が引けない、という場合は、きちんと方針を持って引こうとしているか、チェックしてみましょう。

やみくもに補助線を引いてもうまくはいきません。

どんなときにどんな補助線を入れるべきなのかは、たくさん問題を解いていく中で見えてきたりします。

すべては練習です。

ぜひ、がんばってください!

それでは、また次回お会いしましょう!