こんにちは、算数を担当しています佐々木です。
2020年度の入試問題を見ていると、立体に関する問題が以前より
難度が高くなっていることに気づかされます。
そこで本日は、立体の問題、特に、表面積の求め方について
まとめたいと思います。
表面積を求める問題は、手立てはすぐにみつかるのですが、正答にたどり着くには
時間がかかったり、計算ミスをおこしてしまったりと厄介な問題になります。
しかし、本日は、手順が分かっていれば必ず解ける方法をご提示いたします。
それでは実際に問題を解いていきましょう。
問題【1】次の立体の表面積を求めなさい。
表面積は、基本、
3方向から見てください。
上、手前、右の3方向です。
円すいの場合、右からみた表面積と、手前から見た表面積は同じなので、
2方向からで大丈夫です。
しかし、立体図形は、3方向から考えることを基本と覚えておいてください。
まず、「上」からみると
円Oが見えますね。
次に、「手前」と「右」からみると、
黄色で塗った部分が見えます。
この黄色い部分を開くと、おうぎ形になるので、
右図のようなおうぎ形になります。
円すいの側面のおうぎ形の面積を求めるには、
母線と半径が必要になるので、展開図は、次のように描きます。
底面の円もくっつけて描くようにしましょう。
部分図が描き終わったので、次に式を立てて解いていきます。
【式】 9×9×3.14＋15×15×3.14×
＝(81＋135)×3.14＝216×3.14＝678.24㎠
以上です。
まとめると、
①3方向(2方向)から見る
②部分図を描く
③式を立てて解く
この3ステップです！
これだけで確実に解けるようになります！
更に、回転体にもチャレンジしてみましょう！
問題【2】右の図のような直角三角形と長方形を
組み合わせた図形を、直線ℓを軸として回転してできる
立体の表面積を求めなさい。
まず、回転した時の完成図を描きます。
先ほどの3ステップを思い出してください。
まず、ステップ①3方向から見る
上から見ると、半径9㎝の円が見えます。
また、下から見ると、半径15㎝の円が見えます。
次に、右から見ると、
上の部分と下の部分が見えます。
上の部分は、円すいの一部となり、下の部分は円柱の側面になります。
まず「上の部分」赤いところの側面積は、
円すいの一部なので、
この15㎝、25㎝は相似形を利用して求めています。
「下の部分」青い部分は、円柱の側面になるので、長方形になります。
あと、最後に忘れていけないのは、上から覗き込んだときに、空洞になっている部分の側面です。
つまり、
図の緑の部分です。
この部分は、半径9㎝の円柱の側面ということがわかるので、
右の図の長方形になります。
これでステップ②部分図を描くところは終わったので、
あとは、
ステップ③式を立てていきます。
9×9×3.14＋15×15×3.14＋25×25×3.14×
＋9×15×2×3.14＋8×9×2×3.14
＝(81＋225＋240＋270＋144)×3.14
＝960×3.14
＝3014.4㎠
となります。
最後の式に持っていければアッという間ですが、式が長いですね。
3.14でまとめることも忘れないようにしましょう。
式からもわかるように、この回転体の表面積は、部分が、5か所にわかれています。
これを頭の中だけでやっていくのは、無理です！
「半径」や「高さ」を求めながら、式も作って、部分を考えるということは、
どんなに計算が得意だとしても、どこかで計算ミスをしてしまったり、見落としてしまったりということが起こります。
必ず、部分図を描いて式を作ってから解くようにしましょう！
最後は、3，14でまとめるということも忘れずに。
本日は、表面積を求めるときの手順3ステップでした。
