夏期講習が始まって10日が経ちました。

復習は進んでいますか？

ブログがなかなか更新できずすみません。これから自分を律するためにも皆さんとお約束します。

「8月に夏の課題として単元ごとに算数のこれぞ！と思える問題を抜粋してあげていく！」と。

 

では、今回は「数の性質」です。ラ・サール中で2013年度出題された問題からいきます。

 

どの位にも１や７の数字があらわれない整数を２から小さい順に２，３，４，５，６，８，９，２０，

２３，２４，２５，２６，２８，２９、・・・・と並べます。次の問いに答えなさい。

(1)このような2ケタの整数２０，２２，２３、・・・、９９はいくつありますか。

⇒　　　まず、1ケタでは、7個あります。しかし、20からは「０」がはいりますので、20代に入る数字は8個あります。

それ以降は同じです。

なので、20，30，40，50，60，80，90の７つの場合に分けて、それぞれ8個あるので、

7×8＝56　　　A、56個

 

さてさて、この解き方でいいでしょうか。もう少し工夫はできないでしょうか。または、他の解き方、考え方はないでしょうか。

 

【別解1】

位ごとに場合分けする方法

0～９までの10個の数字のうち、10の位には、0と1と7以外の7個

1の位には、1と7以外の8個を入れることができる。

よって、2ケタの整数は7×８＝56個となる。

 

【別解2】

N進法で解く方法

この問題にでてくる数字は、０，２，３，４，５，６，８，９、の8個になっている。・・・ということは？！

これを0～７に対応させると、

０　　２　　３　　４　　５　　６　　８　　９

↓　　↓　　↓　　↓　　↓　　↓　　↓　　↓

０　　１　　２　　３　　４　　５　　６　　７

と対応します。ということは、7までしか表現できないので、次の8は2ケタの10になり、

８進法の問題と捉えることができるのです！

問題の20～99は、8進法では、「１０」～「77」に対応します。なので、その個数は、

8×７+７－７＝５６　　A.　56個

 

そうすると、

（２）９９９は何番目の整数ですか。

という問題は、「９９９」を８進法で表すと「７７７」なので、８進法の「７７７」を１０進法で表すと、

６４×７＋８×７＋１×７＝５１１　A,　５１１番目

（３）２０１２番目の整数は何ですか。

１０進法の２０１２は、８進法では、

 

 

となり、３７３４です。

これを問題の初めに書いた数字に直すと、３が４に、４が５に、７が９になるので、４９４５となる。

A．　４９４５

 

となるのです。　（１）などは、書き出して解いてもよいでしょうが、（２）、（３）のように数がどんどん大きくなると手に負えなくなり

途中で解答が書けなくなるということになります。

ここで、こういった類の問題は、実はN進法の考え方だということを知っておくと、実際問題に出たときに慌てずにすむでしょう。

それでは、自分でも練習してみてください。以下に類題を載せておきます。手を動かして自分で試してみるのが一番の勉強です。

しかも、この前N進法の勉強したよね！A子さん、B君！レッツ、トライです。

０，１，５をそれぞれ何個か用いて作られる数を小さい順に並べると、０．１．５．１０．１１・・・となる。このとき

（１）初めから数えて２７番目の数はいくつですか？

（２）５０１０５は、はじめから数えて何番目の数になりますか。　（聖光学院中　改題）

また、

０，１，２，３，４，５の数字だけを使ってできる整数を小さい順に並べた数の列

１，２，３，４，５，１１，１２，１３，１４，１５，２１，２２，２３，２４，２５、・・・があります。

（１）５５５５は何番目にありますか？

（２）２００４番目の数は何ですか？　（甲陽学院中）

などあります。

さあ、できたかな。この２問、ぜひやってみて持ってきてください。