最新記事 2021年09月24日

テーマ: 算数

N進法の考え方 3の倍数はいくつある?

みなさん、こんにちは。

受験ドクターの坂井です。

9月以降、多くの受験生が過去問を解き始めていると思いますが、忘れたころに出題されている問題の1つにN進法があげられます。どうやって解くんだっけ?という受験生、多いんじゃないでしょうか。

次の問題を使ってN進法を確認していきましょう。
(1)と(2)は確実におさえておかないといけない問題です。(3)は少し面倒くさいですが、3の倍数の性質の確認、集計の練習になるので頑張ってみてください。
では問題。

【問題】                         (2018 昭和学院秀英2回)
 
3つの数字0,1,2を用いて数字を作り次のように小さい順に並べます。
1,2,10,11,12,20,21,22,100,・・・・
このとき、次の問いに答えなさい。

(1) 3けたの数字はいくつありますか。

(2) 100番目の数字を求めなさい。

(3) 100番目までの数字に3の倍数はいくつありますか。    

(1) これらは3進法で表された数字です。
3けたの数字で最大の数字は222です。        
  「9の位」に2,「3の位」に2,「1の位」に2
  という数字ですので、
  9×2+3×2+1×2=26 となり、
  1から数えて26番目の数になります。
  1けたと2けたの数字は8個あるので、 26-8=18個     18個
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  別解
  3けたの数字では、「9の位」は1か2の2通り,「3の位」は0か1か2の3通り,
  「1の位」は0か1か2の3通りであるので、 2×3×3=18(個)と求めることもできます。

(2) 3進法で表す数の100番目の数です。
  下の計算より、  10201
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(3) これは少し面倒な作業が必要になりますが、差がつく問題です。
  入試本番に向けて練習を積んでぜひ慣れてほしい問題です。

  3の倍数は、各位の数の和が3の倍数であることを利用して考えていきましょう。

【1けた】 1けたの3の倍数はありません。

【2けた】 12,21の2個です。

【3けた】 3けたの数では3つ数が
    (0,1,2) (1,1,1) (2,2,2)の3種類になります。
    
    (0,1,2)⇒ 「9の位」は1か2のどちらか。2×2×1=4通り
    (1,1,1)⇒  1通り
    (2,2,2)⇒  1通り
     よって 4+1+1=6個

【4けた】 4けたの数での4つの数の組み合わせは、
     (0,0,1,2) (0,1,1,1) (0,2,2,2)  (1,1,2,2)の4種類になります。それぞれについて調べていきます。

     (0,0,1,2)⇒ 「27の位」は1か2。
1の場合、1002,1020,1200      
2の場合、2001,2010,2100

よって 3×2=6通り。  

(0,1,1,1)⇒ 「27の位」は1だけ。0が「9の位」「3の位」「1の位」のどこにくるかを考えると
1110,1101,1011の3通り。

(0,2,2,2)⇒ (0,1,1,1)のときと同様に3通り。

(1,1,2,2)⇒ 1の場所を4か所から2か所選ぶ方法は
           4×3÷(2×1)=6通り。
                よって6+3+3+6=18個

【5けた】 100番目の数,10201までの5けたの数を並べてみると,
      
      10000,10001,10002,10010,10011,10012,10020,10021,10022
      10100,10101,10102,10110,10111,10112,10120,10121,10122
      10200,10201

      青字の7つの数字が3の倍数になります。  7個

 以上より、 2+6+18+7=33個          33個

  どうでしたか?
(3)は、調べて集計していかなくてはならないので大変だったと思います。
 その中でも5けたの3の倍数は、3の倍数の性質を利用して、各位の数の和が3の場合と、6の場合に着目して見つけていく方法もありますが、全部書いても20個くらいなので、このくらいの量だった書いて調べていってもよいかなと思います。

今回のお話はここまで。
それではみなさん、またお会いしましょう。