今回の「基本を考えよう」は「相似」です。その中でも直角三角形を
とりあげます。

　　★ 相似条件を知っておこう ★

三角形の相似形というと、よく知られているのが下図でしょう。

直線ＢＣと直線ＤＥが平行の場合は、青い三角形と緑の三角形は
相似になります。

では、なぜ、相似になるのでしょうか。

合同条件と同じように、相似にも条件があります。３つありますが、
下記の条件を覚えておけばいいでしょう。

　　　三角形の相似条件：対応する２つの角度が等しい

下の図１では、角Ａは対頂角で等しく、角Ｃと角Ｄは錯角で等しい。
図２は角Ａが共通、角Ｂと角Ｄが同位角で等しい。

それぞれ２角が等しく、相似になります。

　　★ 直角三角形と相似 ★

直角三角形の相似で覚えておきたいのが、下図です。直角三角形ＡＢＣと
青い直角三角形、緑の直角三角形はすべて相似になります。

直角三角形ＡＢＣと青い直角三角形は、角Ｂが共通、直角で、２角が等し
く相似、同じように、直角三角形ＡＢＣと緑の直角三角形は、角Ｃが共通、
直角で、２角が等しく、この２つの三角形も相似になります。

青い直角三角形、緑の直角三角形も同じように相似です。

相似形になる図形はまだまだ沢山あります。”２角が等し”ければ相似に
なります。見つけ出す学力が必要になります。

　　★ 相似の直角三角形を使った問題 ★

【問題】

正方形を４つ横に並べて長方形を作ります。対角線をひいたところ、５１
ｃｍになりました。正方形の面積を求めなさい。

【解答・解説】

問題を解く場合、問題文を読んで解法が直ぐ分かるのがベストですが、
入試問題はそのような問題ばかりではありません。

解法が直ぐわからない場合、どうしたらいいでしょう。自分がもっている
算数の解法を当てはめて、解法の糸口が見つかるかどうか、試行錯誤を繰
り返すことです。

直角三角形の場合、よく出てくるのが、

　　　３辺の比が　３：４：５　や　１３：１２：５

です。これをまず当てはめてみましょう。

５１ｃｍはどの比の倍数でもありませんので、この比は使えないことが分
かります。

次に、今回のテーマである相似を使ってみましょう。下図のように、５１
ｃｍの対角線を底辺として直角三角形を書き直します。

さらに、２つの直角三角形にわけるために頂点から補助線をひきます。
辺の比は、正方形の１辺の４つ分と１つ分ですから、図のように４：１に
なります。

３つの直角三角形はすべて相似ですから、下図のような辺の比になります。

５１ｃｍは、比⑰になりますから、比①＝３ｃｍ　です。比④＝１２ｃｍ
ですから、この直角三角形の面積は

　　５１　×　１２　÷　２　＝３０６

正方形４つ分の面積は、この直角三角形の２倍ですから

　　３０６　×　２　＝　６１２

です。正方形の面積は

　　６１２　÷　４　＝　１５３

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答　１５３　ｃｍ2

正答にたどりつくポイントは解法を覚えることではありません。知識を覚
えることは大事ですが、いかにその知識を使いこなすかにかかっています。

最低限の知識をいろいろ当てはめてみて、解法の糸口を落ち着いて探りま
しょう。

この問題は、他の解法でも解くことができます。どんな方法が使えるか、
考えてみましょう。

今回の「基本を考えよう」は「相似～直角三角形」でした。