今回は鴎友学園女子の問題に挑戦します。鴎友学園はミッションスクールではありませんが、

自由な校風の中、キリスト教の精神を教育に取り入れ、リトミックや園芸を授業に組み込むなど、

特色のある中学校です。

 

【問　題】

１辺が６ｃｍの正六角形ＡＢＣＤＥＦがあります。ＡＰ：ＰＦ＝２：１、ＡＲ：ＲＤ＝１：２、ＥＴ＝２ｃｍです。

ＱＲの長さを求めなさい。

 

[鴎友学園女子]

 

【解答・解説】

平面図形の問題は非常にバラエティに富んでいますが、頻出なのは「面積と辺の比」です。

この問題には必ず「相似」が絡んできます。相似の図形が見つけられるかどうかが

大きなカギになります。

 

では、相似の図形を見つけるためにはどうしたらいいでしょう。

 

　　　　　　　平行線に注目すること

 

です。

 

皆さんがよく知っている、

 

 

この二つが相似の図形の基本です。直角三角形の場合はまた別にありますが、

この基本形を当てはめて相似の図形を探すのです。

 

本当は、どうして、この形が相似の図形になるのか、というところも理解してほしいのですが、

これはまた別の機会に。

 

では、問題に戻って、平行線に注目してみましょう。

 

　　　　①    どの辺とどの辺が平行線かを確認する

 

まず、平行線を見つけることが大事です。正六角形の場合、向かい合う辺と対角線が平行になります。

 

 

他に平行線がないかどうか探すために、

 

　　　　②    わかる線の長さ、角度を書いてゆく

 

 

図形は眺めていても解法の糸口はつかめません。わかる長さ、角度、同じ長さの辺を

どんどん書き込んでゆきましょう。

そこから正三角形、二等辺三角形、各種の四角形、相似の図形を見つけてゆくのです。

 

この図形の場合は、正六角形ですから、１つの内角は120°、その半分は60°ですから

 

　　　　　　角ＡＢＳ＝120°　　角ＰＡＲ＝60°

 

　　　　　　ＡＰ：ＰＦ＝２：１　→　ＡＰ＝６÷３×２＝４ｃｍ

 

　　　　　　ＡＤ＝ＢＣ×２　→　ＡＤ＝６×２＝１２ｃｍ

 

　　　　　　ＡＲ：ＲＤ＝１：２　→　ＡＲ＝１２÷３×１＝４ｃｍ

 

三角形ＡＰＲにおいて

 

　　　　　　角ＰＡＲ＝60°　ＡＰ＝ＡＲ＝４ｃｍ　より　三角形ＡＰＲは正三角形。

　　　　　　つまり、ＰＲ＝４ｃｍ

 

四角形ＡＢＳＰにおいて

 

　　　　　　角ＢＡＰ＝角ＡＢＳ＝120°　角ＡＰＲ＝60°　より　角ＢＳＰ＝60°

　　　　　　つまり、四角形ＡＢＳＰは等脚台形。

 

　　　　　　ということは　ＡＢとＰＳ、さらにＤＥは平行

 

ということになります。

 

ここで、新たな平行線が出てきましたので、相似形を探します。相似の基本形を当てはめてみると

 

 

上図のように

 

　　　　　　三角形ＡＤＴ　と　三角形ＡＲＱ　が相似

 

ということがわかります。

 

相似比は

 

　　　　　　三角形ＡＤＴ　：　三角形ＡＲＱ　＝　３　：　１

 

　　　　　　ＴＤ　：　ＲＱ　＝　３　：　１

 

　　　　　　ＴＤ　＝　６ｃｍ　÷　３　×　２　＝　４ｃｍ

 

ＰＲも４ｃｍですから

 

　　　　　　ＰＲ　：　ＲＱ　：　ＰＱ　＝　３　：　１　：　２

 

となり

 

 

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答え　　

 

 

「面積と辺の比」のポイントは

 

　　　　　　平行線に注目する

 

ことです。

 

次回はこの問題を別の解き方で解く方法を考えます。

算数はいろいろな解き方を学習すると応用力がつきます。

お楽しみに