みなさん、こんにちは。受験Dr.の亀井章三です。

　今回は「和分解と場合の数」です。
全く関係がないように見える２つの単元が、意外な形でつながって
いる、というお話です。

　「和分解」とは、ある整数を複数の整数の「和」に分解することを
表します。例えば、６を1以上の３つの整数に分解すると
　１＋１＋４、２＋３＋１、１＋３＋２などが考えられます。
この表し方が何通りあるかを考えてみましょう。

　ここで最初に確認しないといけないことが、
　２＋３＋１と１＋３＋２は「同じもの」なのか「異なるもの」なのか、です。
これは、問題によって変わるため決まってはいません。
今回は、「異なるもの」として扱う場合を考えます。

　問題　６個のリンゴを、A君・B君・C君の３人で分けます。
　　　　　全員１個以上もらうものとするとき、分け方は何通りありますか。

　まず、６個のリンゴを横一列に並べたものとイメージしましょう。

　ここが重要なところです。
　左から「Aのリンゴ」「Bのリンゴ」「Cのリンゴ」が区別できるように
リンゴとリンゴの間に棒を置いていきます。

　例えば、Aが２個、Bが３個、Cが１個もらうとすると

　のように棒が２本入ります。

　Aが１個、Bが２個、Cが３個の場合は、

　となり、同じ「１個・２個・３個」でも、誰に配るかが異なれば、
棒の入る場所が異なる、というわけです。

　つまり、６個のリンゴの間の異なる場所に２本の棒を入れると
３人への分け方が全て表されることになります。

　ここまできたら、場合の数の計算で求められます。
間の数は６-１＝５か所、ここから２か所を選ぶので、
（５✕４）÷（２✕１）＝10通り　となります。

　この考え方をまとめると、
　□個のリンゴを△人に分ける。ただし、配る人は名前があるなど
区別できる、そして全員１個以上もらうとき、その配り方は、
　（□-１）個から（△-１）個選ぶ選び方と同じである、となります。

　「１個以上」「人が区別できる」がポイントです。
　人でなくても、数字が書かれた箱に入れる、色のついた皿に乗せる
などの場合でも同じ方法が使えます。

　では「１個以上」の条件がちがう場合はどうすれば良いでしょう？
それは、個数を変えて「１個以上」にすれば良いです。

　例えば、６個のリンゴをA・B・Cの３人に分ける。もらってない人が
いてもいいとすると、分け方は何通り？
　という問題は、
　全員に１個ずつ配るため、３個追加すれば良いです。
　つまり、９個のリンゴを全員１個以上もらうように分ける、ということです。
　そうすれば、（８✕７）÷（２✕１）＝28通り　と求められます。

　では、10個のリンゴをA・B・Cの３人に、全員２個以上もらうように
分ける分け方は何通りあるでしょう、という問題は・・・

　先ほどと逆に、まず１個ずつ３人に配ります。残った７個のリンゴに
ついて、全員１個以上もらうという条件にすれば良いのです。

このように、もらう個数が１個以上でない場合は、全体の個数を増減
することで対応可能です。
　しかし、３人の名前がなかったり、袋や皿が区別できない時はこの方法
が使えませんので、丁寧に調べていきましょう。

　今回は、和分解という数を使った問題も、棒を入れる方法という場合の
数に置き換えることで解きやすくなる、というお話でした。