最新記事 2021年04月13日

テーマ: 算数

立体内部の立体の利用

みなさん、こんにちは。
受験ドクター算数・理科科の川上と申します。

小学校でも新学年がはじまりましたね。
生活リズムをしっかり整え、元気よく1学期を過ごしましょう!

さて、本日はタイトルの通り、立体内部の立体について触れたいと思います。

[問題]

下の図のような正四面体と、1辺の長さが正四面体の辺の長さと等しい正三角形と正方形で作られた正四角すいがあります。この正四面体と正四角すいの体積比を求めなさい。
2021_0413

どこから手をつけてよいかわからない、というお子さんも毎年見受けられる問題です。
有名な問題ではあるので、見たことのあるお子さんもいるかもしれません。

正四面体と正四角すいの体積比の:解説

1辺の長さが2㎝の正四面体を用意します。

この正四面体の各辺の中点を取り、結びます。
2021_0413_2

もとの正四面体の四隅の1辺1㎝の正四面体を切り取ると、正八面体が残ります。
2021_0413_3

正八面体を二つに分割し、正四角すいを作ります。
2021_0413_4

さて、ここで四隅を切断して出来た小さい正四面体と、正八面体を分割して作った正四角すいは1辺の長さがともに1㎝で等しくなっています。

ここで、相似比と体積比を利用します。

1辺2㎝の正四面体と、1辺1㎝の正四面体の相似比は1:2なので、体積比は

2×2×2:1×1×1=8:1

です。1辺2㎝の正四面体の体積を⑧、一辺1㎝の正四面体の体積を①とします。
2021_0413_5

正八面体の体積は1辺2㎝の正四面体から1辺1㎝の正四面体を4つ引けばよいので

⑧-①×4=④

さらに、正八面体を2つに分割してできた正四角すいの体積は

④÷2=②

となります。よって、1辺1㎝の正四面体と、正四角すいの体積は1:2となります。

実はこの前、同じ問題を授業で扱ったのですが、別の方法で答えまでたどり着いた子がいて感心してしまいました。
下の図です。興味があればこの図を用いて考えてみてください。
立方体内部の正四面体と、立方体から取り除いた三角すいを利用します。
2021_0413_6

それでは、今回はこれで失礼します。

受験ドクター講師 川上亮