みなさん、こんにちは。
受験ドクター算数・理科科の川上と申します。

小学校でも新学年がはじまりましたね。
生活リズムをしっかり整え、元気よく1学期を過ごしましょう！

さて、本日はタイトルの通り、立体内部の立体について触れたいと思います。

どこから手をつけてよいかわからない、というお子さんも毎年見受けられる問題です。
有名な問題ではあるので、見たことのあるお子さんもいるかもしれません。

正四面体と正四角すいの体積比の:解説

1辺の長さが2㎝の正四面体を用意します。

この正四面体の各辺の中点を取り、結びます。

もとの正四面体の四隅の1辺1㎝の正四面体を切り取ると、正八面体が残ります。

正八面体を二つに分割し、正四角すいを作ります。

さて、ここで四隅を切断して出来た小さい正四面体と、正八面体を分割して作った正四角すいは1辺の長さがともに1㎝で等しくなっています。

ここで、相似比と体積比を利用します。

1辺2㎝の正四面体と、1辺1㎝の正四面体の相似比は1:2なので、体積比は

2×2×2：1×1×1＝8：1

です。1辺2㎝の正四面体の体積を⑧、一辺1㎝の正四面体の体積を①とします。

正八面体の体積は1辺2㎝の正四面体から1辺1㎝の正四面体を4つ引けばよいので

⑧－①×4＝④

さらに、正八面体を2つに分割してできた正四角すいの体積は

④÷2＝②

となります。よって、1辺1㎝の正四面体と、正四角すいの体積は1:2となります。

実はこの前、同じ問題を授業で扱ったのですが、別の方法で答えまでたどり着いた子がいて感心してしまいました。
下の図です。興味があればこの図を用いて考えてみてください。
立方体内部の正四面体と、立方体から取り除いた三角すいを利用します。

それでは、今回はこれで失礼します。

受験ドクター講師　川上亮