最新記事 2018年04月24日

テーマ: 算数

(たて+よこ)-1って?  正方形の切断される枚数のお話。

卒業生のみなさん、入試がおわってもうすぐ3か月がたとうとしていますが
いかがお過ごしでしょうか。桜とともに入学式を迎え、
もうすっかり中学校の生活にも慣れてきた頃でしょうか。
ドクターの先生たちは、君たちの今後のご活躍を心より応援しています。ということで、卒業してもドクターのブログを見に来てくださいね。

こんにちは。そして、はじめまして。 坂井と申します。

今日は、対角線によって何枚の正方形が切断されますか? という問題についてお話をしようと思います。問題をみれば、「あぁ~ これか~」とどこかで見たことがあるかもしれない有名な問題です。
こんな問題です。

正方形 切断1

対角線によって何枚の正方形が切断されたでしょうか。

出発点からゴールの点まで対角線を引くと
青いの縦の壁を5枚通過しなければ横方向に進めないのでゴールできません。
こんどは、赤い横の壁を4枚通過しないと縦方向に進めないのでゴールできません。
では、縦と横、あわせて何枚の壁を通過したことになるでしょうか。

縦5枚 横4枚だから 合わせて9枚の壁を通過したことになりますね。

では、通過した地点に印をつけてみます。図を見てみましょう。
こんな感じなります。(下の図)

正方形 切断2

印は9個つきましたね。
でも、ゴール地点の点は2つの点が重なりますので、
点の箇所は8か所になります。
このゴール地点では、点が重なるので “ひく1” をするのです。

正方形 切断3

さて、対角線によって正方形は何枚切断されたことになるでしょう。

正方形8枚が切断されていますね。
よって、切断される正方形の枚数は、

正方形 切断4

ということがわかります。

では、こんな問題にもチャレンジしてみましょう。

正方形 切断6
何枚の正方形が対角線によって切断されたかというと
8+10-1=17(枚) と言ってしまいたくなりますよね。
でも答えは、16枚です。
あれ?  なんで?
図をよく見ると、先ほどの縦4枚、横5枚の長方形が対角線上に2つ分あることがわかります。
ですから、8枚×2=16枚になるわけです。

正方形 切断5

縦の枚数と横の枚数が1以外の公約数をもたない枚数まで小さくして考えます。
縦の8枚、横の10枚はそれぞれ
8=×  10=× なので
縦4枚 横5枚に正方形を並べた長方形が対角線上に2個ある
というように考えればよいのです。

では、最後にもう1題考えてみましょう。

正方形 切断7

答えは出せましたか?

縦の枚数と横の枚数が1以外の公約数をもたない枚数まで小さくして考えます。
91=×13  156=12×13 なので
縦7枚 横12枚に正方形を並べた長方形が対角線上に13個分あるとわかります。
縦7枚 横12枚に正方形を並べた長方形の対角線によって
切断させる正方形の枚数は
12-1=18枚  となるので、
18×13=234枚 です。

お話はこれでおしまいです。

では、みなさん またお会いしましょう。