最新記事 2018年07月13日

テーマ: 算数

受験算数のコツ!1から100までかけると…上級編

みなさん、こんにちは。受験ドクターの亀井章三です。

梅雨も明け、暑い暑い夏がやってきます。
私はジメジメした梅雨より、暑くてもカラッとした夏が好きです。ギラギラとした
太陽に照らされているほうがちょっと嬉しくなったりします。
とはいえ、熱中症には気をつけて細目に水分補給をしておきましょうね。

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今日は、前回の続き。1から100までかけた数の上級編です。
さっそく問題にいってみましょう。

問題 下のように1から100までをかけた数をAとします。
1×2×3×4×5×……×98×99×100=A
このAについて次の問いに答えなさい。
(4) Aを9で割り続けると、何回目で商が整数でなくなりますか。
(5) Aを24で割り続けると、何回目で商が整数でなくなりますか。

このタイプの問題のポイントは前々回にご説明しました、「割り算を分数に置き換える」
「割り切れる=約分して分母が1になる」という2つでした。

そして、今回の(4)は、前々回の(1)「2で割り切れる回数」問題のアレンジ
だということが一番大切なところです。

2で割り切れる回数は、1から100までの中に2の倍数がいくつあるか、さらに、
2×2=4の倍数がいくつあるか、2×2×2=8の倍数がいくつあるか、と考え
ていくことで求められました。

では同様に9で割り切れる回数も考えてみましょう。
注意しなければいけないのは、9は素数ではなく3×3だということです。
そこで、まず3で割り切れる回数を考えます。

100÷3=33あまり1
33÷3=11
11÷3=3あまり2
3÷3=1

より、33+11+3+1=48回、3で割り切れることがわかりました。

ここで、9=3×3を使うことに気がつくと、答えまでもう少しです。
3×3=9なので、3で2回割れる=9で1回割れる、となります。
よって、3で48回割り切れる=9で24回割り切れるとなるわけです。

今回も「はじめて割り切れなくなる回数」を聞かれていますので、
24+1=25回目が答えとなります。

6=2×3のように、異なる素数の場合は、少ないほうに合わせるという
解き方でしたが、9=3×3のように、同じ素数を複数回使う場合は、
その素数で割り切れる回数を「1回の割り算で使う個数」で割って求める
ということになります。

1×2×…×100を割り続けるような問題は、同じように見えて、「何で
割り続けるか」によって、微妙に対応が変わってきますので、気をつけたい
ところですね。

それでは最後の総仕上げ(5)12で割り切れる回数はいかがでしょう?
24=2×2×2×3、となりますので、(2)と(4)の融合になります。

では解説です。
まず2で割り切れる回数を求めます。
100÷2=50
50÷2=25
25÷2=12あまり1
12÷2=6
6÷2=3
3÷2=1あまり1
50+25+12+6+3+1=97
よって2で97回割り切ることができます。

次に3で割り切れる回数を求めます。
これは先ほどの(4)より、48回でしたね。

ここで24=2×2×2×3、と2を3回使っていますので、
97÷3=32あまり1 となり、2×2×2で32回割り切れることになります。
したがって、この32回と、3で割り切れる回数の48回を比べ、少ないほう
の32回が2×2×2×3で割り切れる回数となります。

答えはこれより1回多い、33回目となります。

3回に分けてお送りしてきました「何回割り切れる?」問題。
解き方は決まっていますので、しっかり練習して、ライバルたちに差をつけ
ていきましょう。

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それでは次回もお楽しみに。