最新記事 2022年03月17日

テーマ: 算数

【平面図形】実はこれも同じ問題なのだ

皆さま、こんにちは!

さて、ここまで何回かにわたって、「加重平均」と呼ばれるタイプの問題を扱ってきました。
ぱっと見は違って見えても、実は問題の本質は一緒ですよ、ということを解説してきました。
ここまでは、すべて文章題に関する問題でしたが、今回は最後として、平面図形の問題を扱います。
文章題から図形になるので、問題のジャンルすら違うことになりますが、実はこれも同タイプの問題です。
まずは、以下の問題を見てください。
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この問題は、相似を学習した際に、相似の利用の典型題として必ず教わるものですね。
受験ドクターの根本原理テキストでも、111番「台形の中に平行線」として登場します。
こういった相似の応用問題の鉄則は、基本の相似形であるピラミッド型と砂時計型を探すことです。
そして、もしその2つの形が見つからないなら、自分で補助線を引いて、相似形を作り出します。
この問題は、相似形を自分で作り出すタイプの典型題ですね。
色々な補助線の引き方があり得るのですが、一番手間が少なく簡単な補助線は、平行線を入れることです。
この場合は、Aを通って、DCに平行な線を入れてみます。
すると、以下のような図ができますね。
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これで何が起こったかというと、まず平行線の左側はピラミッド型の相似形になっています。
そして、ここが大切なところなのですが、平行線の右側は平行四辺形になっています。
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ですから、図の右側の横の長さは、すべて6㎝とわかります。
すると、左側のピラミッド相似の底辺は3cmということになりますね。
あとは、相似比が2:3であることを考えれば、ピラミッド相似のまん中の長さは2㎝と求められます。
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求めなくてはならないのは、EFの長さなので、2+6=8で、8cmが答えということになります。
この問題は中学受験では基本中の基本なので、必ずマスターしておくべき問題です。
相似の学習に不安があるお子さんは、しっかり練習しましょう。

さて、この問題自体の解説はこれでおしまいなのですが、前回と同様、本題はここからです。
実はこの問題は、ここまで扱ってきた「食塩水の混ぜ合わせ」などの問題と本質は一緒です。
つまり、これは「加重平均」の問題なのです。
先生やテキストによっては、この問題自体を「加重平均の問題」とはっきり表現されることもありますね。
そして、「加重平均」ということは、これもここまでと同様、てんびん算の処理が可能ということになります。
どういうことか、考えてみましょう。

まず、この問題でAE:EBが1:1だったらどうなるかを考えてみてください。
詳しい解説は省略しますが、先ほどと同様にやってみると、答えは7.5㎝になります。
この7.5という数字は、上底の長さ6㎝と、下底の長さ9㎝の単純な平均と等しくなります。
(6+9)÷2=15÷2=7.5ですから、ちゃんとあっていますね。
これは偶然ではなく、1:1であれば、必ずこのようなことが成立します。
では、もともとの問題のように、AE:EBが1:2だったらどうでしょうか?
前回までのブログをずっと読んでこられた方は、ピンとくるのではないでしょうか?
そうです、答えは単純な平均の7.5㎝よりも、9cmの方に近い値に絶対になるはずです。
つまり、これまでの「加重平均」の問題と同様に、9㎝の方に答えは「引っ張られる」のです。
図の見た目としても、明らかなことではありますが、こういった感覚はとても大切です。

さて、ここまで理解できると、この問題がてんびん算で処理できることがわかってくると思います。
図としては、以下のようなイメージでOKです。
左側の辺ABを取り出して、横向きに書いたと考えてください。
そして、両端には上底の長さ6cmと、下底の長さ9cmを書いておきます。
ここまで書けば、もはやおもりを書き入れる必要もないです。
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あとは、6cmと9cmの差である3cmを、2:1に比例配分して、つりあいのポイントを求めてみてください。
すると、以下のような図が完成しますね。
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つりあいのポイントは、6cmから2cm、9cmからは1cmはなれたところです。
ということで、ちゃんと答えである8cmという値にたどり着きました!
このことは、今回と同じ形の問題であれば必ず成立します。
興味があれば、手元にあるテキストの問題などで色々と試してみてください。
たしかにこれでも正しい答えが出るなー、ということがわかると思います。

ということで、今回も、これまのですべての問題と同じ理屈が成立していることがご理解頂けたと思います。
これで、このテーマについてもめでたく終了としたいと思います。
ぜひ理解して頂きたいのは、ぱっと見は違って見えても、実は本質は一緒ということがあるということ。
そして、問題の解き方にも色々とあるのだなー、ということも知って頂けるとうれしいです。

私自身は、問題の解き方にあまりこだわりがない方で、解けさえすればなんでもいいと思っています。
その日の気分によって、解き方を変えてみたりもします。
そうすることで、問題を考える際の視点の幅を広げることができているような気がします。
基本となる型を身につけるのは大前提ですが、それができたら、少し違ったアプローチもしてみましょう。
問題に対して自由な発想で色々とやってみる方が、楽しいし実力の底上げにもなると思いますよ。

では、また次回お会いしましょう!