今週の「基本を考えよう」は「公約数」です。
１２の約数の数はいくつ？
１２の約数はそれほど多くないので、書き出すことができます。
１、２、３、４、６、１２ の６個
です。
しかし、数が大きくなるととても書き出すことはできません。
皆さんがよく知ってる公式は、まず１２を素因数分解して
このような解き方でしょう。
なぜ、この式で約数の数が出せるのか？
では、なぜ素因数分解した数の個数にそれぞれ１を足してかけると
約数の数が出てくるのでしょうか。
１２の約数を例にとって考えてみましょう。
１２の素因数分解 １２＝２×２×３
１２の約数
１＝１×１
２＝１×２
３＝１×３
４＝２×２
６＝２×３
12＝２×２×３
と１２の約数を数の積にしてみると、１２の素因数分解した数と
”１”を掛け合わせた場合の数になっていることがわかります。
さらに次のように書いてみましょう。
１２の約数
１＝１×１ → “２”を０個×”３”を０個
２＝２×１ → “２”を１個×”３”を０個
３＝１×３ → “２”を０個×”３”を１個
４＝２×２ → “２”を２個×”３”を０個
６＝２×３
→ “２”を１個×”３”を１個
→ “２”を１個×”３”を１個
12＝２×２×３ → “２”を２個×”３”を１個
と表すことができます。これを表にして整理すると
となります。ですから、
１２の約数の個数＝（２の個数＋１）×（３の個数＋１）
になるわけです。
２つの数の公約数は最大公約数の約数になる
１２の約数の個数＝（２の個数＋１）×（３の個数＋１）を
つかって、次のことを考えてみましょう。
２つの数の公約数は最大公約数の約数になる
３６と２４を例にとって本当にそうなるか、確かめてみましょう。
３６の約数 → １、２、３、４、６、９、１２、１８、３６
２４の約数 → １、２、３、４、６、８、１２、２４
３６と２４の最大公約数 １２の約数
→ １、２、３、４、６、１２
確かに、３６と２４の公約数は、３６と２４の最大公約数、１２の
約数になっています。
なぜでしょう？
上記の表を用いて考えるとよく理解できます。
３６を素因数分解すると
３６＝２×２×３×３ → ”２”が２個 ”３”が２個
表にすると
です。
同様に２４を素因数分解すると
２４＝２×２×２×３ → ”２”が３個 ”３”が１個
になります。
この二つの表を並べてみてみると、
３６と２４の表の中にはこの２数の最大公約数である １２ の
表が入っている(黄色の部分)ことがわかります。
３６と２４の表の共通部分が１２の表になっており、これが
公約数になるため、
３６と２４の公約数は、３６と２４の最大公約数、１２の
約数になる
のです。
「基本を考えよう」今週は「公約数」でした。
