先週の問題の解答・解説
今週の「基本を学ぼう」は先週に引き続き、「フィボナッチ数列」です。
まずは、先週の問題の解答解説から
【問題】
下の図のように、２ｃｍ × ２０ｃｍ の長方形に、１ｃｍ×２ｃｍ
のタイルを使って敷き詰めます。何通りの敷き詰め方があるでしょう。
【解答・解説】
規則性や場合の数の問題を苦手とする生徒さんは非常に多いのです。そ
ういう生徒さんの学習の仕方を見ると、殆どの生徒さんが
問題が解らないと、解答を見てそれを書き写す
という学習(？)をしています。
問題の内容も理解せず、なぜ、そのような規則性になるのかも解らずに
解法を見ても、学力がつくはずがありません。
規則性や場合の数の学習の基本は
まず、自分で書き出すこと！
です。面倒くさがっては絶対にできるようにはなりません。自分で丁寧
にひとつひとつ書き出し、そこから規則性を自分で見つけ出すのです。
これが学力です。
逆に、すべて書き出して答えを出そうとする生徒さんがいます。限りあ
る時間のなかで、多くの問題を解かなければならない入試問題では得策
ではありません。
それに、(1)は解けても(2)(3)までは難しいでしょう。やはり、ある程度
書き出して、そこから規則性を見つけ出して解くのが王道です。
この問題も同じです。
２ｃｍ × 20ｃｍ の敷き詰め方をいきなり、解こうしても無理です
ので、２ｃｍ × １ｃｍ から、 ２ｃｍ × ２ｃｍ、２ｃｍ ×
３ｃｍ、２ｃｍ ×４ｃｍ・・・と増やして、その敷き詰め方を考えて
みましょう。
このようにきちんと書き出して、ここから規則性を見つけ出します。
２ｃｍ × １ｃｍ の場合 → １通り
２ｃｍ × ２ｃｍ の場合 → ２通り
２ｃｍ × ３ｃｍ の場合 → ３通り
２ｃｍ × ４ｃｍ の場合 → ５通り
３番目からは、前の２つの数の和になっていますから「フィボナッチ数
列」であることが解ります。
あとは２ｃｍ × ２０ｃｍ の場合を「フィボナッチ数列」を使って
出します。
１ｃｍ → １通り 11ｃｍ → 144
２ｃｍ → ２通り 12ｃｍ → 233
３ｃｍ → ３通り 13ｃｍ → 377
４ｃｍ → ５通り 14ｃｍ → 610
５ｃｍ → ８通り 15ｃｍ → 987
６ｃｍ → 13通り 16ｃｍ → 1597
７ｃｍ → 21通り 17ｃｍ → 2584
８ｃｍ → 34通り 18ｃｍ → 4181
９ｃｍ → 55通り 19ｃｍ → 6765
10ｃｍ → 89通り 20ｃｍ →10946
答 10946通り
覚えておきたい「フィボナッチ数列」の性質
「フィボナッチ数列」の性質は一杯あるのですが、その中でも覚えてお
きたいのが、下記の性質です。
１番目から□番目の数の和は、”□＋２番目の数”－”１”に等しい
という性質です。実際に確かめてみましょう。
１番目から８番目の数を例に取ります。この数の和は、10番目の数に１
を引いた数に等しくなるはずです。
０＋１＋１＋２＋３＋５＋８＋13＝33
10番目の数は、13＋21
＝34 ですから、34－１＝33 と等しくなってい
＝34 ですから、34－１＝33 と等しくなってい
ます。
なぜ、そうなるのか
では、なぜ
１番目から□番目の数の和は、”□＋２番目の数”－”１”に等しい
のでしょうか。
10番目の数である”34”を分解して、０＋１＋１＋２＋３＋５＋８＋13
と照らし合わせてみましょう。
上の図では、”13”が一致していますので、”21”を”8”と”13”に
分解しています。”8”も一致していますので、今度は”13”を分解し
ます。
一致していない数をどんどん、同様に分解して言ったのが下の図です。
つまり、10番目の数である ”34” は １＋ １～13の和 になり、
１～13の和は ”34”から１を引いた数になります。
ですから、
１番目から□番目の数の和は、”□＋２番目の数”－”１”に等しい
となります。
ただし、気をつけないといけないのは、入試で出題される「フィボナッ
チ数列」は”０”から始まるのではなく、３番目の”１”から始まるの
が多いのです。
そうすると
１＋２＋３＋５＋８＋13＝32
になりますから、10番目の数 ”34”から２引いた数が、和になります。
この点は注意しておきましょう。
学力の向上には、どんなことでも「なぜ、どうして」の視点が必要です。
時間がない中で、膨大な量の学習をしなければならないのが中学受験生
です。
そのような状況の中で、中々、難しいかもしれませんが、たまには立ち
止まって、「こうは考えられないだろうか」「こういうやり方で解けな
いだろうか」と考てみると良いと思います。
