今回の「基本を考えよう」は前回に引き続き「ピタゴラスの定理」
です。


「ピタゴラスの定理」とは、直角三角形において、

のことでした。

なぜ、この公式になるのか、を前回示しましたが、証明の仕方は非
常に多いので、今回も、もう一つ有名な証明の仕方を示しましょう。


まず、三角形ＡＢＣに合同な三角形を４つ数のように並べます。

　　　　　四角形ＡＤＥＣは正方形になります。


それは、三角形すべてが合同ですから、４辺はＡＣの長さに等しく、
角ＢＡＣと角ＡＣＢの和は９０度になり、４つの角が９０度になる
からです。

四角形ＡＤＥＣの面積は、


　　　　　四角形ＡＤＥＣ　＝　ＡＣ　×　ＡＣ

です。

では、この図を下記のように形を変えてみましょう。



１．黄色の三角形を下図のように移動します。

２．次に青色の三角形を下図のように移動します。

つまり、四角形ＡＤＥＣは、その面積を変えずに下図のような図形に
変形することができます。

この図形の面積をどう出すか考えてみましょう。


この図形は下図のように、赤色で囲まれた正方形と、青色に囲まれた
正方形に分けることができます。

それぞれの面積はもとの三角形ＡＢＣの辺を使うと　

　　　　　青色の正方形　＝　ＡＢ　×　ＡＢ
　　　　　赤色の正方形　＝　ＢＣ　×　ＢＣ


つまり、

　　　　　四角形ＡＤＥＣ　＝　青色の正方形＋赤色の正方形

　　　　　ＡＣ　×　ＡＣ　＝　ＡＢ×ＡＢ　＋　ＢＣ×ＢＣ

になるわけです。





　　★△　「ピタゴラスの定理」の定理を使って問題を解いてみよう　△★


では、「ピタゴラスの定理」を使ってどんな問題が解けるのでしょう
か。

例えばこんな問題が解けます。



【問題】

上図は、同じ中心をもつ同心円です。青色の面積を求めなさい。



【解説・解答】

上の図のように、円の中心を点Ｏ、点ＯからＡＢに垂直に交わる直線
を引き、その交点をＣとします。

青色の面積を普通の方法(？)で求めてみます。

　　　　ＯＢ×ＯＢ×３．１４　－　ＯＣ×ＯＣ×３．１４


　　　＝（ＯＢ×ＯＢ　－　ＯＣ×ＯＣ）×３．１４

になります。

ここで「ピタゴラスの定理」を使います。

三角形ＯＣＢは直角三角形ですから、


　　　　ＯＢ×ＯＢ　＝　ＯＣ×ＯＣ　＋　ＢＣ×ＢＣ

になります。

この式を変形すると


　　　　ＢＣ×ＢＣ　＝　ＯＢ×ＯＢ　－　ＯＣ×ＯＣ


になりますから、


　　　　青色の面積＝（ＯＢ×ＯＢ　－　ＯＣ×ＯＣ）×３．１４


　　　　　　　　　＝ＢＣ×ＢＣ×３．１４

になり、ＢＣ＝４ｃｍ　ですから、


　　　　青色の面積＝４×４×３．１４＝５０．２４




　　　　　　　　　　　　　　　　　答　　５０．２４ｃｍ2



以上、今回の「基本を考えよう」は「ピタゴラスの定理　その２」で
した。