【問　　題】

４けたの整数があります。いま、千の位と十の位の下図を交換し、
百の位と一の位の数を交換した整数を考えます。
（ただし、交換してできた整数は４桁になるとは限りません。
たとえば、もとの整数が1203のとき、交換してできた整数は312になると考えます。）

元の整数と交換してできた整数の和を考える時、次の問いについて答えなさい。

(1)　この和は常にある整数の倍数になります。この整数を答えなさい。

(2)　この整数の和が15857になりました。もとの整数として考えられる数の中で
最も大きい数を求めなさい。

[学習院]

 

 

　　　【解答・解説】

典型的な数の性質の問題です。

まずは問題を確認しましょう。元の整数は４桁ですから、それぞれの位の数を仮に

　　　　　　　千　百　十　一
　　　　　　　Ａ　　Ｂ　　Ｃ　　Ｄ

とおきます。

「千の位と十の位の数を交換し、百の位と一の位の数を交換」すのですから、
下図のようになります。

このような数の問題を解く、常套手段は

　　　　　　　それぞれの位の数で分解すること

です。

例えば1234という整数でしたら

　　　　　　　　1234＝１×1000＋２×100＋３×10＋４

と分解できます。この分解法は様々な入試問題で使えるので覚えて
おきましょう。桜陰、麻布といった御三家でも出題されています。

最後まで解法がわからなくても、とりあえず、やってみる！　という
のが重要です。

この学習院の問題も各位の数を分解して考えてみましょう。

(1)の解法

　　　　　　　元の整数　＝Ａ×1000＋Ｂ×100＋Ｃ×10＋Ｄ

　　　　　　　交換した数＝Ｃ×1000＋Ｄ×100＋Ａ×10＋Ｂ

元の数＋交換した数　が「ある整数の倍数」になっているのですから

　　　　　　　元の整数＋交換した数　＝　「ある整数」×□

となるはずです。

　　　元の整数＋交換した数　＝　Ａ×1000＋Ｂ×100＋Ｃ×10＋Ｄ

　　　　　　　　　　　　　　＋　Ｃ×1000＋Ｄ×100＋Ａ×10＋Ｂ

これをアルファベットでまとめると

　　　＝Ａ×(1000＋10)＋Ｂ×(100＋1)＋Ｃ×(1000＋10)＋Ｄ×(100＋1)

　　　＝Ａ×1010＋Ｂ×101＋Ｃ×1010＋Ｄ×101

　　　＝Ａ×10×101＋Ｂ×101＋Ｃ×10×101＋Ｄ×101

さらにまとめると

　　　＝101×(Ａ×10＋Ｂ＋Ｃ×10＋Ｄ)

つまり、元の整数＋交換した数は

　　　　　　　101の倍数

です。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答．101

(2)の解法

　　　元の整数＋交換した数＝15857

になる場合です。(1)から

　　　元の整数＋交換した数＝101×(Ａ×10＋Ｂ＋Ｃ×10＋Ｄ)
　　　　　　　　　　　　　＝101×(Ａ×10＋Ｃ×10＋Ｂ＋Ｄ)

ということは、15857も101の倍数ですから

　　　　　　　　15857＝101×157

です。つまり

　　　Ａ×10＋Ｃ×10＋Ｂ＋Ｄ＝157

です。

　　　Ａ×10＋Ｃ×10＋Ｂ＋Ｄ＝(Ａ＋Ｃ)×10＋Ｂ＋Ｄ

と書けて、(Ａ＋Ｃ)×10　の部分と　Ｂ＋Ｄ　の部分に分けることができます。
これが157になる場合、どんな数が当てはまるのか考えてみます。

　　　　　　　　(Ａ＋Ｃ)×10　　　　Ｂ＋Ｄ

　　　場合①　　　　150　　　　　　　　7

　　　場合②　　　　140　　　　　　　　17

　　　場合③　　　　130　　　　　　　　27　　　→　×

場合③はＢ、Ｄは一桁の整数ですから足して27になることはできません。
つまり、場合①か②で考えます。

求める数は

　　　「もとの整数として考えられる数の中で最も大きい数」

です。

ということは、いかにＡを大きくし、次にＢを大きくすればいいのです。

場合①について

　　　　　　　　　Ａ＋Ｃ＝15　→　Ａ＝９、Ｃ＝６

　　　　　　　　Ｂ＋Ｄ＝７　→　Ｂ＝７、Ｄ＝０

　　　　　　　　　もとの整数は　　９７６０

場合②について

　　　　　　　　　Ａ＋Ｃ＝14　→　Ａ＝９、Ｃ＝５

　　　　　　　　　Ｂ＋Ｄ＝17　→　Ｂ＝９、Ｄ＝８

　　　　　　　　　もとの整数は　　９９５８

つまり答は、９９５８　になります。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答．９９５８