みなさん、こんにちは。受験Dr.の桑田陽一です。

今回は、2026年2月25日に行われた、東京大学入学試験(前期日程)の数学の問題から、中学受験生のみなさんにもチャレンジできる問題を、1問紹介します。

分野としては「場合の数」。

で、さっそく問題を見てみましょう。

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問題

n を正の整数とする。座標平面上の3n 個の点がなす集合

{(x, y) | x, yは1≦x≦3,1≤y≤n を満たす整数}

から相異なる3点を選ぶ。ただし、どの3点も等確率で選ばれるものとする。選んだ3点が三角形の3頂点となる確率をp_n とする。

(1) p_5 を求めよ。
(2)略

(東京大学2026年前期　理科・文科共通)

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さすがに、このままの問題文では、中学受験生のみなさんには、何を問われているのか全く分かりません…。
内容を変えないように、中学受験生向けの表現に改めます。

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問題(改)

図のように、15個の点が等しい間隔で並んでいます。
これらの点から3個の点を選ぶとき、選んだ点を結んで三角形を作ることができるような選び方は何通りありますか。

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かなり親しみやすくなりましたね。新6年生であれば、充分チャレンジできそうです。
点の数がやや多めですが、似たような問題に触れた経験のある人も多いはず。

「がんばればできそうだ！」と感じたら、ぜひここで読むのを止めて、自力で解いてみてください。

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解説の前に、ヒント。

三角形を作ることができる選び方ではなく、三角形を作ることが「できない」選び方を数えましょう！
選んだ3点を結んで三角形ができないのは、どのような場合でしょうか？

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では、解説です。

15個の点から3個を選ぶ場合の数は、15×14×13÷(3×2×1)＝455通りですね。
このうち、三角形を作ることができないのは、3個の点が一直線上に並ぶ場合です。

一直線上に並ぶ場合の数なら、何とか数えられそうだ！と思った人は、ここでもう一度自分の力で考えてみましょう！

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3点が並ぶ直線の向きに注目し、場合を分けて求めます。

まずは、こんな向きの直線。

図から分かるように、直線の数は5本。3点の選び方も5通りですね。

次に、こんな向き。

図には3本の直線を描いていますが、左右対称な直線も考えられます。
したがって、3×2＝6通り。

さらに、こんな直線もありますね。

図には1本だけ描いていますが、これも左右対称な直線が考えられます。
1×2＝2通り。

そして…

最後に、こんな直線も考えられます！
直線は3本ですが…。

この向きでは、1本の直線の上に5個の点が乗っています。
5個の点から3個を選ぶ場合の数は、5×4×3÷(3×2×1)＝10通り。
つまり、図の1本の直線あたり、点の選び方としては10通りずつあることになるので、10×3＝30通りですね。

これで、3点が一直線上に並ぶ場合をすべて求められました。
5＋6＋2＋30＝43通り。

これをすべての場合の数から引いて、求める場合の数は455－43＝412通りです！

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新6年生は、5年生の学習で似た考え方の問題に触れたことのある受験生が多いでしょう。
6年生の前期や夏期にも、同じ考え方に触れる機会を持つことになります。

そして今の学習内容は、中学受験はもちろん、将来の大学受験にもつながっています。

新年度の学習にも慣れてきたころでしょうか。
日々、正しい勉強を積み重ねていきましょう。

今回はここまで。