最新記事 2021年02月02日

テーマ: 算数

三角数は当てずっぽう!?

こんにちは、受験ドクターのK.Dです!

今回はタイトルにもあるように「三角数」について書きたいと思います。

そもそも三角数とはどんな数でしょうか。
三角数とは、正三角形の形に点を並べたときにそこに並ぶ点の総数のことです。
数列で言うと、1、3、6、10、15、21、28、36、45、55・・・となります。
1から3には2増え、3から6には3増え、6から10には4増え・・・というように増える数が1ずつ増えています。ちょっと難しい言葉を使うと「階差数列」という数列になっています。
では、例題を交えて三角数について理解を深めていきましょう。

問 次のように整数を規則正しく三角形の形に並べていきます。このとき、8段目の一番右の数はいくつか
求めなさい。
算数20210202_01

どうでしょうか。この問題は右端の数字に着目すれば三角数になっています。
よって、1、3、6、10、15、21、28、36より、36と分かります。

では、この問題の数字を大きくして、100段目の一番右の数はいくつか求めてみましょう。

どうでしょうか。さすがに、1、3、6、10・・・と書き出すわけにはいきませんよね。(なかには100段目まで書き出す強者がいるかもしれませんが)
では、解説します。

1段目右端から2段目右端へは、1+2=3
1段目右端から3段目右端へは、1+2+3=6
1段目右端から4段目右端へは、1+2+3+4=10



となっていることに着目します。
すると、

1段目右端から100段目右端へは、1+2+3+・・・+100となります。
よって、100段目右端は(1+100)×100÷2=5050より、5050と分かります。

最後に本題です。
この数列において、2020は何段目にあるか求めなさい。

どうでしょうか。この問題、数式に当てはめて解くには高校数学の知識がいります。では、どう解くか。

はい、タイトルにあるように「当てはめてみる」です。
当てはめると言ってもむやみやたら当てはめていくわけではありません。
右端の数字に着目して、2020に近いところを探します。

100段目右端が5050ですから、まずは50段目右端で考えてみましょう。
すると、(1+50)×50÷2=1275より、1275と分かります。2020には足りませんね。

では、次は60段目右端で考えてみましょう。
すると、(1+60)×60÷2=1830より、1830と分かります。あと少しで2020です。
61段目右端は1891、62段目右端は1953、63段目右端は2016、64段目右端は2080ですので、2020は64段目にあると分かります。

1個目、2個目の問題まではスパッと解けるお子さんも多いかと思いますが、最後の問題は公式のようなものが存在しないので、解けないお子さんも多いのではないでしょうか。当てずっぽうで解くことはほとんどの問題において、良いことではありませんが、すべての問題が公式に当てはめて解けるわけではないことを念頭において、当てはめで解くことも選択肢に入れておきましょう。

次のブログは何をテーマにしようかなあ、、
必ず受験の役にたつブログを書いていくので、今後も是非読んでみてください。
それではまた。