みなさん、こんにちは。受験ドクターの亀井章三です。
6月29日のブログで、水そうに棒を入れる問題は手順を逆にすると
解きやすいですよ、という内容を書きました。
今回はその続編です。
そもそも、この順逆自在の術は多岐に渡って活用できます。
例えば、６－１０＋９＝？ という計算問題はどうでしょう。
たし算とひき算に優先順位はないので基本的には前から順に解きます。
しかし、６から１０ひくことはできません（負の数を学習していないので）。
そこで、「１０をひく」と「９をたす」の順番を入れ替えることで、
６＋９－１０＝？ とすれば、答えの５は簡単に求まります。
順逆自在の術は、順番を変えても結果に影響がない場合に使います。
今回の主題は、立体切断でも順逆自在の術が使える、というものです。
まずは、下の問題をご覧ください。
この立方体を、３点Ｂ、Ｄ、Ｇを通る平面と、３点Ｂ、Ｄ、Ｅを通る平面で切断し、そのうち頂点Ｆをふくむ立体を立体Ｘとします。
辺ＢＦ上に、ＢＰ：ＰＦ＝２：１となるような点Ｐを取り、点Ｐを通り面ＥＦＧＨに平行な平面で立体Ｘを切断します。
切り分けられた２つの立体のうち、点Ｆを通る立体の体積を求めなさい。
なかなか複雑な問題です。どうやって考えていけばよいでしょうか。
問題文の通り切断していくと、下の図のようになります。
①Ｂ、Ｄ、Ｇを通る平面で切断
②Ｂ、Ｄ、Ｅを通る平面で切断
③Ｐを通る平面で切断
④体積を求めましょう！
と言われても、どうやって求めたらいいのか…
そこで順逆自在の術！です。
切る順番を、①Ｐを通る平面➡②Ｂ，Ｄ，Ｇを通る平面➡③Ｂ、Ｄ、Ｅを通る平面
と入れ替えます。そして、①のＰを通る平面で２つに分けず、隠し包丁のように
切り口をそのまま残しておきましょう。
では、順を追って説明します。
①Ｐを通る平面で切断
②Ｂ、Ｄ、Ｇを通る平面で切断
③Ｂ、Ｄ、Ｅを通る平面で切断
この状態でＰより上の部分を消すと…
となり、体積を求めたい立体が、直方体から三角すいを２つひいた立体
であることがわかります。
つまり、順逆自在の術により、先にひいた切断面が補助線の役割も果たしていることになります。
こうすれば複雑な切断も、どんな立体なのかがわかりやすくなります。
なお、答えは
＝２４３－９
＝２３４㎤
と求まります。
手順がたくさん合って大変な問題では、この忍術のような順逆自在の術の
ことを思い出してみてくださいね。
それではまた次回お会いいたしましょう！
