最新記事 2020年12月17日

テーマ: 算数

600の約数の個数は何個?計算で求めてみよう!

突然ですが問題です。

600の約数の個数は何個でしょうか?

この問題を書き出すことなく計算で求める方法はあるのでしょうか?

先に結論を書いておきます。
600を素因数分解すると600=2×2×2×3×5×5となります。
2が3個、3が1個、5が2個なので
(3+1)×(1+1)×(2+1)=24 よって約数は24個。と求めます。
つまり素因数分解をして、「2が3個」なら+1して4をかけ算する、というように計算します。

今日は、この「+1」はどうして+1するのかを解説していきます。
どうしてその計算になるのかという根本原理から抑えることで知識を本当に自分のものとすることが出来ます。

さて、一件別ジャンルに見える問題を考えてみます。

財布の中に100円玉が2枚、10円玉が3枚あります。これらの硬貨をつかってちょうど払える金額は何通りでしょうか。ただし0円も払える金額に含むものとします。

さてまずは書き出しで求めてみます。230,220,210,200,130,120,110,100,30,20,10,0で12通りです。
この問題を計算で求める方法は次のようなものです。

 
算数202012017_01

100円玉を何枚使うかで選択肢が3通り、10円玉を何枚使いかで選択肢が4通りなので、3×4=12通り と求められます。
この考え方を約数にも応用します。

冒頭の問題

600の約数の個数は何個でしょうか?

を解いていきます。

600を素因数分解すると、2×2×2×3×5×5になります。
そして、600の約数は全てこれらの「2,2,2,3,5,5」を組み合わせて作ることが出来ます。
例えば600の約数の一つ150であれば、2×2×3×5×5ですし、12であれば2×2×3で作ることが出来ます。

先ほどの100円玉と10円玉の組み合わせて金額を作る問題と同じ考え方で、「2が3個、3が1個、5が2個あります」として考えることが出来ます。

 
算数202012017_02
 
それぞれ「0個」という選択肢があるので、「+1」をする必要があるのです。

このようにどうして公式が成り立つのかの部分まで理屈で覚えると、時間が経っても忘れにくくなりますし、応用問題でも使えるようになります。
効率よく問題を解くためにはある種の問題を公式化して覚えることも必要ですが、必ず一度はその理屈の部分を理解してから使うようにしたいです。

意味まで理解してほしい代表的な公式は他に「等差数列の和」や「多角形の内角の和・対角線の本数」や「円すいの側面積の求め方」などです。
公式として覚えつつも、なぜそうなるかの理屈も同時に理解してほしい分野です。
意味が理解できてしまえば、公式としてとりたてて暗記しなくても自然に覚えられるかもしれません。
根本原理をとらえた学習で受験勉強を進めていきましょう!