最新記事 2018年07月06日

テーマ: 算数

場合の数~いつ勉強するの?~

こんにちは、算数を担当しております佐々木です。

ムシムシ暑い日が続きますね。
最近、ミニストップのソフトクリームにハマっております。

場合の数1

マンゴー味、抹茶パフェ、美味しいですね。
ハロハロ、まだいろんな味がこれから出そうです。
楽しみです。

今日は、場合の数についてお話しいたします。

5年生で、「組合せ」「並べ方」の2つを習います。
「組合せ」「並べ方」は、それぞれ単独で出てくる場合と、両方を使った問題と
様々な問題があります。

いくつか問題を一緒に解いていきましょう。

豊島岡女子の平成25年度第2回【4】で出題された問題より、

白と黒のカードが袋の中にたくさん入っています。この袋からカードを1枚ずつ取り出して、次の各問いのように1列に並べるゲームをします。

(1) 同じ色のカードが2枚連続して並んだ場合にゲームを終了します。6枚目を並べてもゲームが終わらず、7枚目を並べました。このとき、1枚目から7枚目までのカードの並び方は何通りありますか。

1枚目に○(白)を置いた場合、
〇⇒●⇒〇⇒●⇒〇⇒●⇒○ ・・・ゲームは終わらない
○⇒●⇒○⇒●⇒○⇒●⇒● ・・・ゲーム終了

1枚目に●を置いた場合も、同様に2通りあるので、2×2=4通りとなります。

(2) 同じ色のカードが3枚連続して並んだ場合にゲームを終了します。6枚目を並べてもゲームが終わらず、7枚目を並べたところ、ゲームが終了しました。このとき、1枚目から7枚目までのカードの並べ方は何通りありますか。

7枚目でゲームが終わったので、後ろから考えていきましょう。
つまり、7枚目⇒6枚目⇒5枚目・・・と書いていきます。

場合の数2

同じ色のカードが3枚並ばないように、1枚目まで戻していくと、
上記のように、5通りとなります。

同様に、7,6,5枚目が黒●になるときも、5通り。
よって、5+5=10通り

この問題は、6枚や7枚なので、書き出して求めることができる比較的簡単な問題ではないでしょうか。

さて、少しレベルを上げて、
今年の麻布中学で出題された問題を解いてみましょう。

平成30年度麻布中学 大問【3】

2つの記号〇、×を並べてできる列のうち、次の条件にあてはまるものを考えます。
(条件)〇が3つ以上連続してならぶことはない。
例えば、○○×○○はこの条件にあてはまりますが、〇×○○○××は条件にあてはまりません。次の問いに答えなさい。

(1)〇、×を合わせて14個並べるとき、×の個数が最も少なくなる列を1つ書きなさい。

3つ以上連続してはいけないので、まずは、とにかく書き出してみましょう。
また、×の数が一番少ないという条件があるので、連続してもよい、最大の2個を〇で置いてみましょう。

○○×○○×○○×○○×○○

となります。
この並べ方であれば×が最小となります。

(2)〇、×を合わせて13個並べるとき、×の個数が最も少なくなる列は全部で何通りと考えられますか。

麻布の問題は、(1)がヒントになっている場合が多いです。
ちゃんと(1)を振り返りながら、(2)を解くようにしましょう。

13個にするということは、14個から1個減らせばいいのです。
ということは、何を減らすか。○なのか×なのか。

○○×○○×○○×○○×○○

×を抜いてしまうと、〇が4つ連続してしまいます。
ということから、〇を抜くという考えが出てきます。

次に、〇を1つ抜くのですが、どこの場所の〇を抜くことができるでしょうか。

そうです、「○○」と2つ連続している場所が5か所あります。
そのどこからでもいいので、1つ抜くことができますね。

ということから、5か所から1か所を選ぶので、5通り

まあまあ、簡単ですね。
それでは、最後の問題です。

(3)〇、×を合わせて12個並べるとき、×の個数が最も少なくなる列は全部で何通り考えられますか。

(2)と同様に考えて、2つの〇を取り除くということを考えましょう。
○○×○○×○○×○○×○○
ⅰ)5か所の「○○」の2か所から一つずつ〇を取る
どの2か所にするか⇒5×4÷2=10通り

ⅱ)「○○」の一組をどこか取る
5か所から1か所を選ぶ⇒5通り

ⅰ)、ⅱ)より、10+5=15通り

となります。

「並べる」「組合せ」を考える問題は、さまざまな形で出てきます。
試行錯誤して、自分で書き出したり、どうなっているのかを考える問題は、
入試問題でなければ、結構楽しいものです。

その楽しさをわかって欲しいのですが、なかなか扱いにくい問題でもあります。

最後の最後に、お題である「いつ勉強するの?」ですが、
やはり、少し時間のある時に、「場合の数」の問題練習をしておくことをお勧めします。

6年生は、この夏までに、豊島岡女子の問題や、渋谷教育学園渋谷、
麻布など、場合の数が毎年出ている学校の問題をピックアップしてやっていきましょう。

5年生、4年生は、まずは、基本の「組合せ」「並べ方」の問題を確認し、
『中学への算数』(東京出版)の問題などを使って、「場合の数」「数の性質」部分を特化して、
チャレンジしてみてください。

どれをやっていいかわからないときは、ぜひ、お聞きください!

それでは、今日はこのへんで。
ありがとうございました!