最新記事 2017年05月12日

テーマ: 算数

平方数の和って?①

みなさん、こんにちは。
受験ドクター算数科の江田です。

楽しかった(?)ゴールデンウィークから1週間。
通常の学習リズムを取り戻してきた頃でしょうか。

ここから約2ヶ月間、
7月17日の“海の日”までは
特に祝日もありません。

そもそも
6年生のお子様がいらっしゃるご家庭においては
「最後の夏期講習」を目前に控え
祝日でも浮かれていられない状況かも知れませんが…(・・;)

中学受験は、本人だけでなく家族全員が
いろいろなことを我慢する覚悟をもって協力してあげないと
成功は難しいですからね。

お父様、お母様
これから先、いろいろな悩みや不安を抱えることもあるかと思いますが
最後まで寄り添ってお子様を応援してあげてください。

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お通いの塾や、家庭教師の方に直接聞きづらい
悩みや不安があれば

ぜひ、お電話で
受験ドクターの「無料相談」
をご活用ください!!(^^)

さて、
今回は、前回申し上げた通り
中学入試によく出題される算数問題のお話をします。

「平方数」という言葉、ご存じですか。
中学受験勉強をしている高学年のお子様であれば
まず間違いなく知っているはずです。

同じ数を2回かけてできる数ですね。
たとえば

4=2×2
256=16×16
625=25×25

ですから、
4も256も625も、すべて平方数です。

また、
「1から連続するN個の奇数のみの和はN×N (平方数)になる」
ということも、
受験生には必ず身につけてもらいたい考え方です。
たとえば

1+3+5+7

を求める際、
等差数列の和の公式である
(はじめの数+終わりの数)×個数÷2
を用いて

(1+7)×4÷2=16

と求める以外に
1から連続する4個の奇数のみの和
ですから

4×4=16

と求める方法もあります。
このことは、簡単な図で説明することができます。
(とっても有名な解説なので、すでにご存じの方は
お茶でも飲みながら、さらっと飛ばしてください^^;)

下の図のように
碁石を並べていくように考えると

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1辺に4個の正方形を作ることができるので

1+3+5+7=4×4
1+3+5+7=16

とわかります。
このあと、どんどん奇数だけを加えていっても
常に正方形のかたちに並べられることも
イメージしやすいですね。

では次に

1×1+2×2+3×3+4×4+5×5+6×6

という計算はいかがでしょう。

そうです。
1から連続する6個の平方数の和です。

ちなみに高校数学において

という公式を学びます。

数学が得意、あるいは好きな方なら
「あ~、そんな公式あったなぁ」
と思う方もいらっしゃるかも知れません。

が、
「何これ!こんな公式を覚えさせられるの!?」
とか、あるいは
「えっ!!高校数学?なら、小学生には無理でしょ。」
と思われる方のほうが多いのでは…

いえいえ、中学入試に出ているんです!
しかも複数の学校で。
ちょっと見てみましょう。

以下の図は、1辺が1㎝、2㎝、3㎝、4㎝、5㎝の
正方形を並べたものです。(図中の単位は省略)

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これについて、まずは
(1) ㋐、㋑、㋒、㋓の面積をそれぞれ求めなさい。

これは簡単!

1×1+2×2+3×3=14 (㎠)・・・㋑
全体の長方形から㋑を2つ引くと
7×6-14×2=14 (㎠) ・・・㋐

同様に
1×1+2×2+3×3+4×4+5×5=55 (㎠)・・・㋓
11×15-55×2=55 (㎠)・・・㋒

と求まりますね。
(ちなみに、ここではまだ「平方数の和」も普通に求めるしかありません。)

次に
(2) (1)の結果を考えて、次の□にあてはまる数を入れ、式を完成させなさい。

1×1+2×2+3×3+4×4+5×5=□×□÷□

さあ、これはどうでしょう・・・
にあるように、(1)の結果から
㋐と㋑が同じ、あるいは㋒と㋓が同じ
すなわち

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に気付けば、この□の部分は

15×11÷3

ということになります。
みなさん正解できたでしょうか。^^

そして、最後に
(3) 1×1+2×2+3×3+……+50×50を求めなさい。

もう、何を考えていけばよいか
気付いた方も多くいらっしゃることでしょう。

(1)(2)で利用した図を(3)でもイメージし、
全体の長方形のたてが

50+1+50=101 (㎝)

横が
1+2+3+4+……+50=(1+50)×50÷2
1+2+3+4+……+50=1275 (㎝)
なので、

101×1275÷3=42925

と求めて完成です!

いかがでしたか。

高校数学で学ぶような内容も
小学生で解けてしまう!

そう考えると、中学受験をする小学生ってすごいですよね♪

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今回ご紹介したのは、関西の難関校である
神戸女学院中等部の問題でした。
ただ、この平方数を題材にした問題は
図の見た目がほんの少し変わっただけのものが
関東の中学校でも出題されています。

今回はここまで。
次回は、この問題を別の考え方で解く方法を
やはり中学入試問題をもとにご紹介したいと思います。

それではまた。