最新記事 2017年05月11日

テーマ: 算数

直角三角形のなぜなぜ?

みなさん、こんにちは!
受験ドクター算数科の浅池 航祐です。

5月ももう中旬に差し掛かり、夏を思わせるような天気が続いている、今日この頃。
先日のブログでも触れさせていただいたと思いますが、
春が終わって夏へと続いていくこの時期が浅池の最も好きな季節です。
浅池は旅をするのが何よりも好きなので、
よくお休みの日はどこかへフラッと出かけています(笑)

前回の記事で触れ損ねましたが、
浅池は先月で受験ドクターに来て早くも2年目となりました!
これからも皆様がファンでいて下さるように、
分かりやすく楽しい指導を心がけていきますので、
ご愛顧の程宜しくお願い致します。

それでは、今日の本題へ。

前回はブレイク・タイムということでPUZZLEを少しご紹介し、
今回は入試問題特集を宣言しておりましたが、
今日は久しぶりに算数のなぜなぜを取り上げたいと思います。

今回のテーマは「場合の数」です。
ブログのタイトルが「直角三角形」なのに??
その謎は、後々解けます。

ここで1つ、問題を。

(問題)
下のような円があり、円のまわりを8等分する点が円周上にあります。

asachi1

この8つの点の中から3つを選び、直角三角形を作ります。全部で何個作れますか。

この問題を見た時に、
「円だから、まずは直径を考えればいいんだ!」
と考える人が多いでしょう。
でも、なぜ?なぜ円の直径を考えるのでしょう??
あなたはその理由を正確に言えますか?

ふふ…、知らない人が多いと思って今回取り上げました。
まずは、下の図を見てみましょう。

asachi2

上図のAの角度は90度になるという性質があります。
実は、三角形の3辺のうち、一つの辺が円の直径となっている場合は、
もう1つの点が円周上のどこであったとしても(すでに頂点になっている2つは除きます)
その三角形は直角三角形となるのです。
さらに下の図を見てください。円の中心から、三角形の頂点に線を引いてみました。

asachi3

そうすると、OAもOBもOCも円の半径なので、
三角形OABと三角形OACは二等辺三角形であることが分かりますね。

等しい角度に〇と×の印をふっています。
すると、三角形ABCの内角の和は180°ですので、
上図から角度の和をとってみると角Aが〇+×、角Bが×、角Cが〇になり、

式にすると
〇+〇+×+×=180°
となります。

〇と×が2セットで180°なので、
1セットだと180÷2=90°です。

さて、ここで問題となる角Aを考えてみましょう。〇+×は……
そう、90°つまり直角なのです!!
これは、円でなければ成り立ちません。
なぜなら、先ほどのOA・OB・OCの長さがすべて円の半径で一緒であるという事実が成立しないからです。

それでは、戻ってさっきの例題を一緒に考えてみましょう。
まずは、先ほどのルールを利用して円の直径が何通りあるのかを考えます。
直径を作るには点が2つ必要となり、
全部で8つの点があるので8÷2=4通り出来ることになります。

もう1つの点の選び方は、8-2=6通りとなりますので、4×6=24個作れるというわけです!
(なぜ掛け算になるのかは、2016年9月27日の記事で既にお話ししているので、そちらも併せてご参照くださいね!!)

今回も様々なことをお伝えいたしました。
では、ここで本日のまとめといたしましょう。

~今回のポイント~
・三角形を構成している3辺のうち、一つの辺が円の直径を通っているものは必ず直角三角形になる

ということでした。

では今日はここまで。
次回は、私が作成した問題をご紹介できれば、と思っております。
なかなか面白い問題を皆様に披露させていただきますので、乞う、ご期待。

それではまた次回、お会いしましょう!