最新記事 2022年01月21日

テーマ: 算数

かけて整数になる~初級から上級まで~

こんにちは、算数を担当しています佐々木です。

本日は、数のお話です。

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栄光学園H25年度[2]より
2ケタの整数Aがあり、これに1ケタの整数Xを足していきます。Xを足すのを6回繰り返したところ、1回足すごとに十の位の数が1つずつ増えていきました。
(1) 1ケタの整数Xとして考えられるものをすべて答えなさい。
(2) 2ケタの整数Aとして考えられるものをすべて答えなさい。
 
2ケタの整数Bがあり、これに1ケタの整数Yをかけていきます。Yをかけるのを4回繰り返したところ、1回かけるごとにケタが1つずつ増えていきました。
(3) 1ケタの整数Yとして考えられるものをすべて答えなさい。
(4) 2ケタの整数Bとして考えられる最も小さいものを答えなさい。

まず、
2ケタの整数Aに何かを足していくと十の位が変わる
ということに注目していくつか具体的に計算して試してみます。

はじめの数が10とすると10以上を足さないと十の位が変わらないので、
Xが1ケタという条件に合わないのでダメです。

はじめの数を11とし、Xを1ケタで最も大きい9として調べてみます。
11に9を足していくと、20、29、38、47、・・・・となりますが、
20⇒29のところで十の位が変わっていません。
しかし、29のあとは、十の位が1つずつ増え、一の位が1つずつ減っていくことが分かります。

12に9を足していっても、21、30、39、・・・とここで、30⇒39のところで十の位は
変わりませんが、やはり十の位が1つずつ増えると、一の位が1つずつ減ることに
なります。

以上を踏まえて、十の位が変わるということをもう一度考えてみると、
A、□、□、□、□、□、C
6回Xを足して毎回十の位が変わるには、6回足した後のCがAより50以上大きく
ならないといけないということがわかります。
X×6>50となる1ケタのXは、X=9しかないことになります。

(1) 答え. 9

(2) 整数Aは、9を足していって十の位が変わっていき、2ケタなので、
9×6回=54足されても100より小さくならないといけません。
よって、100―54=46より小さい整数となります。
1の位が6より大きく、十の位が4より小さい整数となります。

答え. 16、17、18、19、26、27、28、29、36、37、38、39

かけ算の場合も同じように、例を使って調べていき、条件を見つけていきます。
(3) かけていくと位が1つずつ増えるということは、1ケタずつ大きくなるということです。
Bは2ケタの整数なので、4回かけると6ケタの整数となります。
最小の6ケタの数が100000、最大の2ケタの数が99なので、Yを4回かけた数は
100000÷99=約1010倍よりも大きくならないといけません。

5×5×5×5=625
6×6×6×6=1296
より、6、7、8、9が条件に合います。答え. 6、7、8、9

(4)2ケタの整数として考えられる最も小さい数ということは、4回かけたあとの
6ケタの数も最も小さい数と考えられます。
Y=9のときが一番大きいので、9×9×9×9=6561倍になって6ケタになったとすると、
100000÷6561=15.2…となり、16とわかります。

実際に確かめてみると
16×9=144、144×9=1296.1296×9=11664、1164×9=104976 で条件に合います。

 答え. 16

今回の問題のような数の問題で難しいものは、いくつか試していきながら、
じゃあ、一般化するとどういうことなのかということを見抜くのがポイントです。
時間があるときに、いくつか試していって自分でルールを見つけるということを
やってみると力がつきます。頑張ってください。