こんにちは。算数を担当しています佐々木裕子です。

本日は、「特別な三角すい」についてお話したいと思います。

立方体の角を切ったときにできる三角すい。
その三角すいの展開図は、正方形になるということは、皆さんご存じですよね。
例えば、
1辺6㎝の立方体を、図1のように面PQGで切ります。

この三角すいPQGの展開図は正方形となり、面積は6×6＝36㎠となります。

では、直方体の角を三角すいとなるように切断すると、
切断面の三角形の面積はどうなるのか考えてみましょう。

下の図は、AB=2㎝、AD=4㎝、BF=6㎝の
直方体ABCD-EFGHです。

図の直方体を3点Ａ，Ｃ，Ｆを通る平面で切断すると、
切り口の図形の面積は何㎠になるでしょうか。

直方体の3辺の長さが、a,b,a+ｂとなっているとき、
三角形ACFの面積と、図2の正方形の真ん中にできた三角形は、合同になります。
なぜなら、三角形ACDのたてがｂ、横をaとすると辺ACはaとｂの2辺を結ぶ線となり、
長方形ABCDの対角線と等しい長さになります。
同様に、辺CF、辺AFもそれぞれの長方形の対角線となります。
よって、切断面である三角形ACFは、図2の三角形と等しい、つまり合同だといえるのです。

6×6―6×4÷2―6×2÷2―4×2÷2＝14㎠

また、この問題と関連して「算数オリンピック2019　トライアル」の問題があります。

三角形ACDと色のついた三角形が合同なので、
8㎝×8㎝の正方形の中に三角形ACDを作ります。
それ以外の三角形を図の中にいれていくと、下図のようになります。

よって、三角すいABCDの表面積は、

8×8―8×1÷2×2＝56㎠