みなさん、こんにちは。受験ドクターの亀井章三です。

３月になり暖かい日も多くなってきましたね。天気の良い日は日当たりの
良い公園を散歩して、気分をリフレッシュするのもいいですね。

今日は受験算数でも頻出の「平面図形と面積比」についてです。
三角形をいくつかの直線で分割し、辺の比や面積比を考える問題です。
実際に問題を見てみましょう。

この問題はいろいろな解き方が考えられます。
①補助線を書いて相似形を作る
②メネラウスの定理を使って解く
③補助線BEを引いて面積比を利用して解く

今回説明するのは、③の考え方を「視覚的にわかりやすく」解く方法です。
それが「てんびん」です。

理科でも出てくるてんびんには２つの決まりがあります。
＜１＞支点からの距離と重さの積が支点の左右で等しくなる
　　　　⇒重さの比は支点からの距離の逆比になる
＜２＞左右の重さの合計と支点にかかる重さは等しくなる

このことに留意して問題を解いてみましょう。

まずは、比がわかっている部分に比を書き込みます。
BD:DC=４：８＝１：２　　AE:ED=２：（５-２）＝２：３

次に、比がわかっている直線を「真ん中が支点であるてんびん」に置き換えます。
まずは辺BCで考えましょう。

イメージしやすいようにてんびんの両端B、Cのところにおもりをぶらさげてみました。
では、このてんびんを釣り合わせるためには、BとCにぶらさげるおもりの重さは
どのような比にすればよいでしょう？
それは、支点からの距離の逆比でしたよね。BD:DC=１：２なので、
B:C=２：１となります。
そして、そのとき支点Dにかかる重さの比は１＋２＝３と表すこともできます。

今度はADのてんびんを同じように考えてみましょう。
Eを支点として、AE:ED＝２：３なので、AとDにぶらさげるおもりの重さの比は、
A：D=３：２となります。そして、支点Eには５の重さがかかります。

すると、点Dには２種類の重さが書かれています。これを最小公倍数にそろえ、
２つの比を連比でそろえます。

これで問題を解く準備は完了です。
（１）ABとAFの長さの比をもっともかんたんな整数の比で答えなさい。

ABとAFの比なので辺ABに注目します。

すると、Aに９の重さのおもり、Bに４の重さのおもりがぶらさがっていることがわかり
ますね。これでABのてんびんはつりあっていますので、AF:FB=４：９とわかります。
したがって、AB：AF=１３：４　と求められます。

（２）三角形ACFの面積は三角形AEFの面積の何倍ですか。
これは、CFとFEの比を求めることで答えることができます。
そこでCFのてんびんを見てみましょう。

点Fにはまだおもりがぶらさがっていませんので、AとBの重さの合計である
１３のおもりをぶらさげます。Eに１５のおもりがぶらさがっているので、１５-２で
求めても構いません。
すると、F:C=１３：２より、FE:EC＝２：１３、CF:FE=１５：２と求められます。
したがって、三角形ACFの面積は、三角形AEFの面積の、１５÷２＝７．５倍に
なります。

いかがでしたか、三角形で頂点から向かい側の辺に向かって直線が引かれた
このような図形では、てんびんで比を視覚化することでわかりやすく解くことがで
きます。ぜひお子様といっしょにいろんな問題で試してみてください。