みなさん、こんにちは！受験ドクター算数科のA.K講師です。

 

場合の数の単元の中に、規則性の単元が絡む問題が実はあります。

それは「和分解」と呼ばれるテーマです。例題をここで挙げましょう。

 

「りんごが全部で３個あります。Ａくん、Ｂくん、Ｃくんの３人に分ける方法は何通りですか？」

 

この問題、５年生以上なら見たことはあるハズです。

考え方としては、３人にそれぞれ配った個数の合計が３個になるようにすればよいので、

Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝３という式を立てた後、Ａ，Ｂ，Ｃそれぞれに当てはまる数字の組を探していきます。

 

（０，０，３）…３通り

（０，１，２）…６通り

（１，１，１）…１通り

合計で１０通り

 

このような考え方が一般的です。…が、実はこの答えに規則性が潜んでいるのです。

もちろん、これだけでは分かりませんから、りんごの個数を０個、１個、２個、４個として同じように

問題を考えてみます。

 

０個の時⇒（０，０，０）…１通り

１個の時⇒（０，０，１）…３通り

２個の時⇒（０，０，２）…３通り　（０，１，１）…３通り　合計６通り

３個の時⇒先ほどの解説から１０通り

４個の時⇒（０，０，４）…３通り　（０，１，３）…６通り　（０，２，２）…３通り　（１，１，２）…３通り

合計１５通り

 

さあ、賢い皆さんはそれぞれの答えの数を見て気づけましたか！？

１，３，６，１０，１５…この並びはなんと……三角数なんです！！

１、  ３＝１＋２、６＝１＋２＋３、１０＝１＋２＋３＋４、１５＝１＋２＋３＋４＋５というやつです。

なんで？って思うそこのキミ。理由は、ちゃーんとあるのですよ。これからその仕組みをお教えしましょう。

ポイントは、「仕切り」をどのように配置していくか？ということです。

 

２個の場合で、考えてみましょう。仕切りを｜で、みかんを○で表すことにします。

一例を挙げましょう。

 

　｜　　｜　○○　　　　　　　⇒　この場合、みかんの個数は左から順に０個、０個、２個です。

 

上記のような図を想定して、配り方が何通りあるのかを考えてみます。

１本目の仕切りを固定させてみましょう。

　｜　　｜　○○　　　　　　⇒　０，０，２

　｜　　○　　｜　　○　　　⇒　０，１，１

　｜　　○○　　｜　　　　　⇒　０，２，０

 

さらに、

　 ○  ｜｜　　○　　　　⇒　１，０，１

　 ○  ｜　　○  ｜　 　　 ⇒　１，１，０

そして、

　 ○　　○　　｜｜　　　⇒　２，０，０

 

以上から、仕切りを固定させた場所に分けて計算をすると、３＋２＋１＝６通りとなり、三角数に

なっていることが分かるわけです！！

りんごの合計個数がほかの場合であったとしても、三角数になりますよ。

もし、人数が４人だったら…？

それは、賢い皆さんの頭で考えてみてくださいね！みなさんなら、きっと出来るはず。

 

今日のテーマのまとめ。

 

・場合の数で和分解の問題が出たときは、規則性を使ってスマートに答えを出してしまおう！

 

でした。

 

今回はこの辺で失礼いたします。次回もお楽しみに！！

それではまた、近いうちにお会いしましょう。