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投稿日:2018年08月23日

テーマ: 算数

知っててほしい…vol.2

みなさん、こんにちは。
受験ドクター算数科の江田です。

夏真っ盛り…
毎日溶けそうです(+_+)

平面図形1

こんな暑い夏はさっさと終わってほしいと思う一方で、
「あと1週間で夏期講習が終わってしまう」
と焦る気持ちもあります。

そんな私と同じように、
特に
今年が受験前最後の夏期講習となった6年生のご家庭は
不安と焦りを感じずにはいられないことでしょう。

でも、
どのお子様もみんな
この暑い中よく頑張っています!
お子様を信じ、
「今できることを1つ1つていねいに」
寄り添って頑張っていきましょう♪^^

さて、
今回のブログは…

前回に続きまして、
平面図形の問題において知っててほしいこと
のお話をしたいと思います。

頭に入れるのは超簡単♪

平行四辺形(長方形・正方形・ひし形も含む)の内部に任意の点Pをとり、
各頂点と点Pを直線で結ぶと、向かい合う三角形の面積の和が必ず等しくなる

ということです。

うーむ…
文章にするとちょっと長い…
わかりにくい…

どういうことなのか?

簡単にご説明いたします。
(わかりやすくするため、ここでは長方形を例にとってご説明いたします。)

まず下のように
長方形ABCDの内部に“任意の点P”を取ります。

平面図形2

そして、
次に長方形の各頂点(A~D)と点Pを直線で結びます。

平面図形3

すると、
長方形がア~エの部分に4分割されますね。
このとき、必ず“向かい合う三角形の面積の和”について
ア+ウ=イ+エ
が成立するということです。

なぜそうなるの??

平面図形4

解説はいくつか方法がありますが…
ここでは2つだけ触れてみますね。

【解説その1】

平面図形5

この図において
“等積変形(面積が等しいまま変形)”して考えていきます。

平面図形6

上図のように
点PからADに平行な補助線を引き、
アを“等積変形”すると三角形AQDとなります。
同じく、ウも等積変形すると三角形BQCとなります。

次に

平面図形7

上図のように
三角形AQDを等積変形すると三角形AQCとなります。

このことから
「ア+ウは、長方形ABCDの半分」
とわかりますね♪
よって、
残りの
「イ+エもまた、長方形ABCDの半分」
とわかり、
ア+ウ=イ+エ
と証明できました。

【解説その2】
簡単に分割する方法です。

平面図形8

点PからABに平行な補助線と
点PからBCに平行な補助線を
それぞれ引いてみましょう。

下の図のようになります。

平面図形9

すると…

のように、
それぞれ合同な三角形を表す{〇,△,□,☆}が
2つずつ現れます。
この図から
「ア+ウ」にも「イ+エ」にも
それぞれ{〇,△,□,☆}が1つずつ含まれるとわかり
やはり
ア+ウ=イ+エ
となっていることを証明できました。

いかがでしたか。
理屈もさほど複雑なものではありませんし、
どこに点Pをとっても向かい合う三角形の面積の和は等しい
と頭に入れるだけですので、
ぜひお子様に
「覚えておいた方がいいんだって♪」
と声をかけてください^^

次回のブログでは、
今回と前回の“知っててほしい○○”を使って、
最難関校の入試問題にチャレンジしていただこうと思います!

それでは
また次回お会いしましょう!

算数ドクター