今回は、約数の逆数の和に関する小技を扱います。
難関校向けの小技です。

父：こんな問題があるよ。

良夫：まずやってみるね。
30で通分すると
30+15+10+6+5+3+2+1 /30 ＝ 72/30だから、答えは2.4になるね。

父：お見事。
ところで、何か気づいたことはないかな？

良夫：うーん、30+15+10+6+5+3+2+1 /30
の分子の部分は、よく見ると30の約数の和になっているぞ。
ということは、分子の足し算はやらなくてよかったことになるね。
父：問題文に書いてあったね。ここではさほど気にならないけど、「約数の和」はこの問題で大きな意味を持つんだ。
じゃあ、次行ってみよう。

良夫：言い方は違うけど、例題１と全く同じ問題ってことかな？
…それじゃあ、約数の和 / 160を求めることになるな。

父：約数の和はどうする？

良夫：根性でやると思ってるでしょう。（不敵な笑み）
160＝2×2×2×2×2×5と素因数分解されるから、
160の約数の和は、
(1+2+4+8+16+32)×(1+5)=378
これでどう？
父：むむっ、小癪な。素因数分解を用いた、約数の和の公式だな。いつの間に…
良夫：エッヘン！最近マスターしたんだ。あとは
これをさっきと同じようにやるだけじゃ。
378/160＝189/80
どうだあっ！！
父：完璧です。お見それしました。
余りに素晴らしいので、
良夫：素晴らしいので…？
ボーナスステージだぁ。
良夫：聞いてないんだけど。まあ想定の範囲内だ。……やってみよう。

良夫：（１）はさっきの問題と全く同じだね。
（２）は、約数の和と約数の逆数の和が与えられているね。
うーん、少しヒントがほしいな。
父：いいだろう。
例題1で、逆数の和を直接計算して求めたんだけど、一つ一つの逆数に、その数自身を掛けるとどうなるかな？
良夫：
30/30+30/15+30/10+30/6+30/5+30/3+30/2+30/1
＝1+2+3+5+6+10+15+30
おおっ、一つ一つが約数になっている！
30を約数で割ると、ペアの相方が出てくるってわけだ。
父：その通り。
良夫：ってことは、
「約数の逆数の和」に「その数自身」を掛けると…
いつでもどこでも「約数の和」になるってことで、いいんでしょうか。
父：イイんです。まとめておこう。

良夫：じゃ、この小技で例題３をやってみよう。
（１）は、約数の和が
(1＋2＋4)×(1＋3)＝28だから、
28/12＝7/3
一瞬だね。
（２）は、「約数の逆数の和」×「その数自身」＝「約数の和」
にそのまま当てはめちゃうと、
13/4×A＝6552
だから、A＝2016だ。
父：ステージクリア。
良夫：ところで…
父：何だ。
良夫：もしこの公式を知らなかったら、どうなる？いつもこんなにきれいにはいかないと思う。
父：理想とは、そういうものだ。美しくなければ理想じゃない。
良夫：そうだね。うまくいかないときは「根性」でカバーする道を探るよ。

今回はやや対象レベルが高めの小技でした。
使いたいと思った人は積極的に使いましょう。

次回もお楽しみに。