最新記事 2021年08月23日

テーマ: 算数

問題の構造をとらえ、活用しよう

みなさん、こんにちは。
受験ドクター算数・理科科の川上と申します。

本日は構造を分析し、解法に活かす問題を紹介いたします。

[問題]ア、イ、ウ、エの4種類の文字を横1列に並べます。このとき、隣り合うどの2つの記号についても、少なくとも一方はアであるようにします。同じ記号を何個使ってもよく、1個も使わない記号があってもかまいません。たとえば、2個の記号を並べるとき、アア、アイ、アウ、アエ、イア、ウア、エアの7通りの並べ方があります。

(1)3個の記号を並べるとき、並べ方は何通りありますか。
(2)5個の記号を並べるとき、並べ方は何通りありますか。

解答・解説

樹形図で調べ上げる方法ももちろんありますが、ここでは一番左の文字をアにするか、それ以外の文字にするのかで場合分けして考えてみます。

(1)(ⅰ)一番左の文字が「ア」のとき

ア〇〇の並びの「〇〇」には問題文にある「アア、アイ、アウ、アエ、イア、ウア、エア」の7通りを入れることが出来ます。

(ⅱ)一番左の文字が「イ」のとき

イ〇〇の並びの左から2番目にはアを入れるしかない。問題文より、アで始まる2個の記号の並べ方は「アア、アイ、アウ、アエ」の4通りです。

一番左の文字がウのとき、エのときも同様に4通りなので、並べ方の総数は
7+4×3=19通り。

(2)(1)の構造を参考に、4個の記号を並べる場合を調べます。

(ⅰ)一番左の文字が「ア」のとき

ア〇〇〇の並びの「〇〇〇」には(1)で求めた19通りを入れることが出来ます。

(ⅱ)一番左の文字が「イ」のとき

イ〇〇〇の並びの左から2番目にはアを入れるしかありません。残り2個の並べ方には制限が無いので、リード文にある通りで7通りです。
一番左の文字がウのとき、エのときも同様に7通りなので、並べ方の総数は
19+7×3=40通りです。

5個の記号を並べる場合を調べます。

(ⅰ)一番左の文字が「ア」のとき

ア〇〇〇〇の並びの「〇〇〇〇」には4個の並べ方の総数の40通りを入れることが出来ます。

(ⅱ)一番左の文字が「イ」のとき

イ〇〇〇〇の並びの左から2番目にはアを入れるしかありません。残り3個の並べ方には制限が無いので、(1)より19通りです。
一番左の文字がウのとき、エのときも同様に19通りなので、並べ方の総数は
40+19×3=97通り

となります。

気付きましたか?
N個の記号の並べ方=(N-1)個の記号の並べ方+(N-2)個の記号の並べ方×3
となっています。

2学期以降、過去の入試問題を解く際に、構造をとらえ活用する考え方は非常に大切です。
是非今から意識したい内容ですね。

それでは、今回はこれで失礼します。

受験ドクター講師 川上亮