最新記事 2020年09月04日

テーマ: 算数

作ることが出来ないおもりの重さ

みなさん、はじめまして。
受験ドクター算数・理科科の川上と申します。

夏期講習会を終え、テストを控えている子も多いのではないかと思います。
中学受験を目指すみなさんが全力を出し切り、最高の結果を出せるよう祈っています。

さて、本日はタイトルの通り、「作ることが出来ないおもりの重さ」の問題について触れたいと思います。

さっそく問題です。

【問】
4gと7gのおもりがたくさんあります。このおもりを組み合わせて作ることのできない最大の重さを求めなさい。

たとえば4gのおもりを2個使えば8gは作れますし、4gのおもり1個と7gのおもり1個を使えば11gが作れます。
一方で、1g、2g、3gなどは作ることが出来ません。

いかがでしょうか。

重さを1gから順に調べていくと、どこまで調べればいいかわからなくなりませんか?

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【解説】

整数を4行に並べていきます。
算数20200904_01

ここで、1番下の行に注目します。

4gのおもりがあるので、4の倍数になっている一番下の行の重さはすべて作ることが出来ます。
作ることの出来る重さは赤線で消していきます。

算数20200904_02

7gのおもりがあるので、7の倍数の重さも作ることが出来ます。
まずは7gに青い〇をつけておきます。

算数20200904_03

〇をつけた7gの右に並ぶ重さは、7gのおもり1個と、4gのおもりを組み合わせることによってすべて作ることが出来ます。
(11=4+7、15=4+7×2、19=7+4×3、・・・)

算数20200904_04

次に、7×2=14に青い〇をつけます。

算数20200904_05

〇をつけた14gの右に並ぶ重さは、7gのおもり2個と、4gのおもりを組み合わせることによってすべて作ることが出来ます。

算数20200904_06

さあ、あと一歩ですね。

7×3=21gを作ることが出来ます。

算数20200904_07

〇をつけた21gの右に並ぶ重さは、7gのおもり3個と、4gのおもりを組み合わせることによってすべて作ることが出来ます。

算数20200904_08

7×4=28は最初の操作で消えたので、ここまでです。
残った中で一番大きい数字は

算数20200904_09

緑の〇がついている17です。

答えは17となります。

4gと7gであれば、4行に整数をならべていくことがポイントです。
(7行でも解くことはできますが、図の青い〇にあたる数が多くなり、少し面倒です)

与えられたおもりの重さのうち、小さい数値の行数で並べるのがお勧めです。
(例:3gと5gであれば3行にまとめる)

さて、実はこの問題、公式があります。

4×7-(4+7)=17

与えられた2種類の数字の積から和を引くことで答えになります。

 

なぜこの方法で答えが出るのか考えてみます。

算数20200904_10

ここからはやや難しい内容かもしれません。

4行に並べた整数の中の、7の倍数に青い〇を付け、青い〇をつけた数字と
その右側の数字をすべて消す、という操作を繰り返して答えを出しました。

7×1=7、7×2=14、7×3=21と〇をつけていき、4個目の28は最初の操作で消えていましたね。
つまり、4行であれば最後に青い〇がつくのは
7×(4-1)=21です。

残った中で最も大きい数値は21の左隣にある17です。

どの行も公差が4の等差数列になっていますから、21から4を引いたわけです。

7×(4-1)-4=17

回りくどいですが、このような計算で答えを出せることになります。
さて、上の計算式を変形してみましょう。

7×(4-1)-4
=7×4-7×1-4
=7×4-7-4
=7×4-(7+4)

となり、与えられた2つの数字の積から和を引くことで
作ることの出来ない最大の整数を求めることができるわけです。

※与えられた2つの数値が互いに素でないと、この公式は使えません。
(例)30gと50gの2つのおもりで作れない最大の重さは70gですが
公式に当てはめると30×50-(30+50)=1420
となってしまいます。

公式を学ぶ際は、極力理由も考えてみることをお勧めします。
より理解が深まり、公式を忘れにくくなりますし
何より算数の面白さは公式の中身にたくさん詰まっています。

それではまた次回お会いしましょう。