最新記事 2019年08月12日

テーマ: 算数

てんびんで重さを最も少ない個数の分銅で測る!(続編)

こんにちは。受験ドクターの坂井です。
前回はみなさんとこんなことを考えました。

【問題】

上皿てんびんを使って、1gから100gまでの重さを1gごとにすべての重さについて測っていきたい。分銅の数をできるだけ少ない個数ですべての重さを測るためには何gの分銅を何個用意すればよいかを答えなさい。ただし、分銅はてんびんの片方の皿だけにのせるとします

1gから100gまでの重さを1gごとにすべての重さについて測るためには1g、2g、4g、8g、16g、32g、64g の7種類の分銅を1個ずつ用意すれば良かったんでしたね。(前回のブログを参照ください)

そこで、今回は次の問題を考えていきましょう。

【問題】

上皿てんびんを使って、1gから100gまでの重さを1gごとにすべての重さについて測っていきたい。分銅の数をできるだけ少ない個数ですべての重さを測るためには何gの分銅を何個用意すればよいかを答えなさい。ただし、分銅はてんびんの両方の皿にのせることができます

みなさん、前回と今回の問題の違いがおわかりになったでしょうか。

そうです。今回の問題は分銅をてんびんの両方の皿にのせることができるという条件に代わっているのです。

では、さっそく調べていきましょう。

まず、1gの分銅は絶対必要な分銅になります。
次に2gの重さを測るためには、1gの分銅をもう1つ用意すればよいのですがこれだと2gまでしか測れません。もし2gの分銅があれば3gまで測れます。でももう少し考えてみましょう。2gの分銅ではなく、3gの分銅があれば4gまで測れるではありませんか。

てんびん 1

いったいどういうことかというと、1gの分銅と3gの分銅の2個があれば1g、2g、3g、4gのすべての重さが測れるということになるのです。確認していきましょう。
1gは1gの分銅で測れます。2gは左側の皿に1gの分銅、左側のさらに3gの分銅を乗せると左右の皿の分銅の重さの差が2gになりますので2gも測ることができます。3gの重さは3gの分銅で測れます。さらに、1gの分銅と3gの分銅の合計で4gを測ることができます。
測れる重さでの分銅の置き方を下の表でみていきましょう。

てんびん 2

次に5gを測るためには、9gの分銅があれば9gと4gの差で5gを測ることができます。つまり、てんびんの左側の皿に4g(1gと3g),右側の皿に9gの分銅を置けば9-4=5gを測ることができるのです。さらに測れる重さを調べていきます。

てんびん 3

すべての分銅を使って13gまで測ることができました。では、14gはどうやって測ればよいか、もう想像はつきますね。

そうです。27gの分銅を登場させます。27g-13g=14gというように左右の重さの差で14gを作ることができるのです。そして、1g~13gまでの重さ測ることができるので、それらの重さと27gとの差で14g~26gまでのすべての重さが測れます。27gは27gの分銅で測れることができ、さらに27gの重さに1g~13gまでの重さを加えれば40gまでの全ての重さを測れることがわかります。
同じように考えていくと、これらの重さの分銅にあと81gの分銅があれば121gまでの重さを測ることができます。
結局、1g,3g,9g,27g,81gの5個の分銅を用意すれば1gごとに1gから121gまでの重さを測ることができるのです。

ですから1gから100gまでの重さを1gごとにすべての重さについて測るためには、これら5種類の分銅を1個ずつ用意すればよいことがわかります。

今回のお話はこれでおしまいです。

それではみなさん
またお会いしましょう。