最新記事 2016年12月27日

テーマ: 算数

算数と2017年

みなさん、こんにちは。受験ドクターの相川優一です。

受験ドクターで算、国、理、社の四科目を指導させていただいている幸せな講師です。

 

本日は奥深い約数の話をしたいと思います。

 

もう、年もくれです。

2016年も終わり、2017年になろうとしています。

 

2016年は、2016=2×2×2×2×2×3×3×7

 

という具合に素因数分解できました。

 

では、2016の約数の個数は?

 

公式を知っていれば、基本的な問題です。

約数の個数の求め方は、

(素数の数+1)×(素数の数+1)×(素数の数+1)×・・・・・・・=答え

 

ちなみに、素数とは1とその数以外に約数を持たない整数のことを言います。約数を2つ持つと言った方がいいかもしれません。

 

なぜなら、「1」は約数が1個しかないので素数ではないからです。

 

6年生のこの時期なら100%知らなければならないので、知らなかったら今すぐ覚えてください。

 

御三家を中心とした難関校を目指しているお子様には、なぜこの公式ができるのかまでを理解させてください。

 

ヒントは「組み合わせ」です。

 

 

さて、だから、2016の約数の個数は、2という素数が5個、3という素数が2個、7という素数が1個あるので、赤字の公式に当てはめると、

 

(5+1)×(2+1)×(1+1)=36が2016の約数の個数になります。

 

ここからが、本日の本題です!2017には約数がいくつあるでしょうか!?

 

まずは、基本の確認をしましょう!

 

2の倍数の見つけ方=下一桁が2で割れる(偶数ならOKということです)3の倍数の見つけ方=各桁の和が3で割れる4の倍数の見つけ方=下二桁が4で割れる

5の倍数の見つけ方=下一桁が0か5

6の倍数の見つけ方=各桁の和が3の倍数かつ偶数

7の倍数の見つけ方=ありますが、7で割った方がよっぽど速いので7で割ってください

8の倍数の見つけ方=下三桁が8で割れる

9の倍数の見つけ方=各桁の和が9で割れる

10の倍数の見つけ方=下一桁が0

11の倍数の見つけ方=ありますが、11で割った方がよっぽど速いので11で割ってください。

 

 

2、4、8の倍数は下〇桁が割れるかどうかで判断、3、6、9は各桁を足した数が割れるかどうかで判断するということを忘れないようにしてください。

 

2017は奇数なので、2、4、8の倍数でないことが分かります。

 

また各桁を足してみると2+0+1+7=10なので3、6、9の倍数でないことが分かります。

 

では、つぎにやることが分かりますか?

 

単純です。「7で割る」です。

 

残念ながら2017は7では割れないので7の倍数ではありません。

 

では、つぎにやることが分かりますか?

 

単純です。「11で割る」です。

 

残念ながら2017は11では割れないので11の倍数ではありません。

 

では、つぎにやることが分かりますか?

 

「13で割る」です。

 

すなわち、どんどん素数で割っていくのです。1~100までのなかの素数を知っていますか。

2017の約数

 

まずは、先ほども申し上げた通り、1は素数ではありません。

2017の約数 2

2以外の偶数も2の倍数なので素数ではありません。

2017の約数 3

 

5以外の5の倍数も消しておきましょう。

 

2017の約数 5

 

ここからは少し大変です。3以外の3の倍数でまだ消えていないものを消しましょう。

2017の約数 5

 

 

次は、7以外でまだ消えていない7の倍数を消しましょう。

2017の約数 6

 

はい、白く残った数字が素数です。

 

もっと簡単に素数を探す方法がないのか?と思われる方もいらっしゃると思いますが、今のところありません。

 

「エラストテネスのふるい」という探し方をご存知の方もいるかもしれませんが、労力はほとんど変わりません。

 

素数の判断方法の公式や、素数の見つけ方の公式を発見したらフィールズ賞(ノーベル賞の数学版だと思ってください)がもらえるかもしれません。

 

では、2017が素数かどうかはどんどん素数で割っていくしかないことになります。それでは、どこまで割っていけばいいのか考えていきましょう。

 

2017÷13=155.1・・・割り切れません。

 

2017÷17=118.6・・・割り切れません

 

2017÷19=106.1・・・割り切れません

 

2017÷23=87.6・・・割り切れません

 

2017÷29=69.5・・・割り切れません

 

2017÷31=65.0・・・割り切れません

 

2017÷37=54.5・・・割り切れません

 

2017÷41=49.1・・・割り切れません

 

2017÷43=46.9・・・割り切れません

 

2017÷47=42.9・・・割り切れませんが、ここでストップです。

 

なぜ、ここでストップするのかというと、割る数よりも割られた数が大きくなっているからです。

 

割る数よりも割られた数が大きくなっているのに割り切れないということは、今後も割り切れる数は存在しないということなのです。

 

<まとめ>

2017は素数

 

 

現場で考えるのは辛すぎるので、2017は素数だと覚えておく!

 

ちなみに素数には双子素数と呼ばれるものがあります。

それは差が2の2つの素数のことをいいます。

例えば「3と5」、「5と7」、「11と13」などです。

 

これは無数にあるのか、それともないのか?

これも未だに証明されていないので、是非、解き明かしてフィールズ賞を獲得してください!

 

では、よいお年をお迎えください。