最新記事 2019年06月27日

テーマ: 算数

回転体のアプローチ法~前篇~

みなさん、こんにちは。受験ドクター算数科の浅池 航祐です。

今回は、立体図形の単元、その中の回転体について触れていきたいと思います。
平面図形を、ある軸を中心として回したときに出来る立体。イメージがしづらい方もいるのではないでしょうか。
そのアプローチ法について、今年の入試問題をトピックに挙げながらお話ししていきましょう!

【問題】(広尾学園中学校2019年度第1回入試大問5より)
(図1)のような長方形ABCDがあります。次の問いに答えなさい。ただし、円周率は3.14とします。
(1)(図1)において、辺CDを軸として1回転させてできる立体の体積を求めなさい。
(2)(図2)において、辺CDと平行で、辺CDから1㎝離れた直線を軸として1回転させてできる立体の体積を求めなさい。
(3)(図3)において、辺CDと平行で、辺CDから□㎝離れた直線を軸として1回転させてできる立体の体積を求めたところ、471㎤でした。□に入る数を求めなさい。

回転体1

さて、各々の問題について考えていきますが…その前に!
回転体の考え方について、バシッと1つアドバイス。それは

いきなり全体の図を考えて作図するのではなく、「回る点」について1つ1つ作図をしていく
ということです。
また、「回転」体ですから、底面が三角形や四角形などの角ばった形になることはまず有り得ません。
(1)について考えてみますと、点Aは点Dを中心として1回転するので、半径1㎝の円を描くことになります。

回転体2

点Bも同様に、点Cを中心として半径1㎝の円を描いて1回転します。
ちょっとずつ回転させてみると、、、

回転体3

上図のように、底面の円の半径が1㎝、高さが10㎝の円柱が出来上がるというわけですね!
よって、体積は1×1×3.14×10=31.4㎤と求まります。
続いて、(2)にいきましょう。
点Dは回転させると半径1㎝の円になり、点Aは回転させると半径2㎝の円になりますね。

回転体4

点B、点Cも同様に考えると…下のような立体の完成です。

回転体5

例えるなら、トイレットペーパーのような立体ですね!
底面は半径2㎝の円から半径1㎝の円をくり貫いた形で、高さが10㎝の円柱が出来上がります。
よって、その体積は(2×2-1×1)×3.14×10=30×3.14(←3.14の工夫は必ずするように!)=94.2㎤となります。

(3)については、次回にまたお話ししていきます。それではここで、今日の内容のまとめをしましょう…

~本日のまとめ~
・回転体の問題では、いきなり全体の完成図を思い描くのではなく、段階に分けて1つの点ごとに回転させて出来る図形を作図し、立体の図を完成させる。
・完成した立体の底面の形は円になる。(円から円を取り除いたものもあるが)三角形や四角形などの角がある図形にはならない。

今回はここまで。
次回は、後篇ということで(3)の問題の考え方について触れていこうと思っております。

ではまた、お会いしましょう♪