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第５回　図形問題に強くなる③（図形の移動）

今後の目次

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第６回　規則性に強くなる
第７回　速さの文章題を得意単元にする

第３回から図形問題を取り上げており、前回は三角形・四角形・多角形を題材に、相似形の発見と設問から解法を導く解法について説明いたしました。
今回は、図形の移動という作図を伴う問題の解き方を説明してまいります。作図はきちんと段階を踏んで正確に捉えることが求められます。
正しい作図ができるということは図形のイメージが捉えられているということであり、正しいイメージなくして正解にはたどり着けません。
今回は②解答にたどり着くまでの作業量（作図）が膨大で、効率良い解き方（作図の仕方）が見つかりにくく難しい、になります。
それでは、この「②解答にたどり着くまでの作業量（作図）が膨大で、効率良い解き方（作図の仕方）が見つかりにくく難しい」を解決するポイントを、お子様に身につけさせましょう！

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前回のチャレンジ問題の答え
今日のポイントを使って問題にチャレンジ！

ポイントが身につく問題実践講座

問題
三角形ＡＢＣを三角形Ａ’Ｂ’Ｃ’の位置まですべることなく転がしました。
このとき三角形ＡＢＣが通った範囲の面積を求めなさい。円周率は3.14とします。
算数オリンピックトライアル問題の図
（1998算数オリンピックファイナル問題）

【解くための考え方】
まずは、先ほどの問題を直接お子様に解かせてみてください。

正解はこちら

どうでしたか？正解にたどりつけたでしょうか？
正解できなかった場合、どこまで解き進めることができたのかが重要です。
今回はまず三角形ＡＢＣが転がった様子がきちんと作図できているかがポイントです。
次に、その面積を求めるために補助線を引けましたかが２つ目のポイントです。
難しそうな図形の問題こそ、ポイントに基づいて解いていくことができます。

今後受験Dr.では、「難問攻略イメージde暗記ポイント」カードを作成する予定です。
今回は、その中から「効率よく調べていくためのポイント」を2つご紹介します。

今回使うポイント

作図が上手く描けない
　⇒【ポイントNo.１２】「図形の移動は点→線」
面積が上手く求められない
　⇒【ポイントNo.１３】「角度の和・差は近づけて解く」

【ポイントNo.１２】「図形の移動は点→線」

図形は辺に囲まれ、辺は点が集まったものです。
したがって、移動などの作図の際には、まず頂点がどのように移動し、どこに来るのかをとらえ、移動した後の頂点と頂点を結ぶことによって辺の移動が完了します。
そして全ての辺の移動が完了すれば図形の移動が完了します。

また、回転移動は動かない点を中心に円を描くように移動します。
360°回転することはあまりありませんので、出来上がる図形はおうぎ形になります。
よって、中心・半径・中心角を必ずおさえて作図していきましょう。

ＡとＣがＢを中心に回った図
まず、ＡとＣがＢを中心に回ります。

Ｃ’を中心にＡとＢが回った図
次に、Ｃ’を中心にＡとＢが回ります。

この２つを合わせると、
この２つを合わせた場合の図
となり、求める部分は
求める部分を色分けして整理
となります。

まずは頂点だけを１つずつ動かし、それらを結ぶことで全体図を理解していきましょう。
この作図方法は立体図形・影でも使われます。

【ポイントNo.１３】「角度の和・差は近づけて解く」

しっかり作図することで、求めるべき図形が見えてきました。
２つのおうぎ形と１つの直角二等辺三角形です。

直角三角形は面積が容易に求められます。
20×20÷２＝200㎠

問題はおうぎ形です。左側は半径20㎝はわかっていますが、中心角がわかりません。
右側は半径の長さも中心角もわかりません。
一体どうすればよいでしょう？

とりあえず記号を用いて式を立ててみましょう。
左側のおうぎ形の中心角をア°、右側の中心角をイ°とします。すると、

	20×20×3.14×	ア	＋	AC×AC×3.14×	イ
		360			360

となります。

ここで下の図を見てください。

正方形の面積は、１辺×１辺で求める以外に、対角線×対角線÷２でも求めることができます（正方形をひし形とみなす）。
ＡＢ＝20より、20×20＝ＡＣ×ＡＣ÷２となり、
ＡＣ×ＡＣ＝800となります。これを先ほどの式にあてはめます。

	400×3.14×	ア	＋	800×3.14×	イ
		360			360

		＝	400×3.14×	1	×	(ア＋イ×2)
				360

これであとはア＋イ×２の大きさを求めるだけになりました。
そこで、次の図のように角度に記号を振り分けます。
角度に記号を振り分ける

ア＋イ×２を求めるために、ウとエの角度を近づけます。
２つの三角形に同じ24㎝の辺がありますので、ここを重ねて並べます。
２つの三角形を重ねて並べる

すると、ＳＱ＝32－７＝25、ＱＴ＝25より、三角形ＳＱＲは二等辺三角形になります。
したがって、角ＱＲＳ＝角ＱＳＲ＝エとなります。
ウ＋エ×２＝180－90＝90°
ア＋ウ＋（イ＋エ）×２＝90＋135×２＝360°
ア＋イ×２＋（ウ＋エ×２）＝360°
ア＋イ×２＝360－90＝270°　となります。

したがって、

		400	×3.14×	270	＝	300×3.14＝942
				360

となります。
先ほどの直角二等辺三角形の面積と合わせれば答えが求まります。

【正解】

１１４２㎠

開成・筑駒・灘の問題で今日のポイントを使う

問題　灘中学校（１日目）　2016　９

図のような直角三角形ＡＢＣがあります。この直角三角形が斜線部分の外側を、①の状態から矢印の方向にすべることなく転がって、②の状態まで移動します。
このとき、辺ＡＢが通過する部分の面積を求めなさい。
灘中入試問題の図

【解説】

まずは移動の様子を作図しましょう。←ポイントNo.１２
移動の様子1
移動の様子2
２つを重ねます。
1と2の重ね合わせ
このうち辺ＡＢが通過する部分の面積は、頂点Ａが動いた軌跡（赤色）と頂点Ｂが動いた軌跡（青色）と3本の辺ＡＢで囲まれた部分になります。辺ABが通過する部分の面積
辺ABが通過する部分の面積を色分け
ここで気をつけなければいけないのが、直線（辺ＡＢ）が通れない部分です。
辺ＡＢが回転する様子を15°ずつ重ねてみます。
辺ＡＢが回転する様子を15°ずつ重ねる
すると内側にも直線が通過している部分があることがわかります。
これを正確に図にするため、「回転の中心に最も近い直線上の点」を考えていきます。

点Pが動いた部分より外側も含まれる
斜線部分の角をＯとします。Ｏに最も近い辺ＡＢの点は、辺ＡＢの真ん中の点Ｐで、ＡＢとＯＰは垂直に交わります。
この点Ｐが動いた部分より外側（赤い部分）も辺ＡＢが通過する部分になります。

いよいよ通過した部分の面積を求めましょう。
今回も全体から白い部分を引いて求めます。
＜全体＞
直角三角形（大）＋おうぎ形（大）＋おうぎ形（中）①
全体の面積
＜白い部分＞
おうぎ形（中）②＋台形＋直角三角形（小）＋おうぎ形（小）
白い面積
ここで、白い部分の台形と直角三角形（小）を合わせると、全体の直角三角形（大）と同じ形になります。
したがって、おうぎ形（大）＋おうぎ形（中）①－おうぎ形（中）②－おうぎ形（小）を計算します。
三角形ＡＢＣの角Ｃは60°になりますので、

おうぎ形（大）

	4×4×3.14×	120	＝	16	×	3.14
		360		3

おうぎ形（中）①

	4×4×3.14×	120	＝	1×3.14
		360

おうぎ形（中）②

	2×2×3.14×	120	＝	4	×	3.14
		360		3

おうぎ形（小）

	1×1×3.14×	90	＝	1	×	3.14
		360		4

	(	16	＋	1 －	3	－	1	)	×3.14	＝	19	×	3.14	＝ 14.915
		3			3		4				4

答え　14.915㎠

前回のチャレンジ問題の答え

問題

下の図のような正六角形ＡＢＣＤＥＦがあります。辺ＢＣ，ＣＤのまん中の点をそれぞれＧ、Ｈとします。

（１）三角形ＡＧＥの面積は正六角形ＡＢＣＤＥＦの面積の何倍ですか。

（２）ＦＧとＡＨが交わる点をＩ、ＦＧとＡＤが交わる点をＪ、ＦＧとＡＥが交わる点をＫとします。
次の長さの比を、最も簡単な整数の比で表しなさい。
①ＢＧとＡＪ
②ＡＫとＫＥ

（３）正六角形ＡＢＣＤＥＦの面積を12㎠とするとき、三角形ＡＩＫの面積を求めなさい。
ＦＧとＡＨが交わる点をＩ、ＦＧとＡＤが交わる点をＪ、ＦＧとＡＥが交わる点をＫ
（２０１６　駒場東邦中　４）

【解説】

（１）

まずは、三角形ＡＧＥの面積が全体の何倍になるかを考えます。
きれいに分割した形にはなっていませんので、全体から三角形ＡＧＥ以外の部分を除いていく方法を取ります。
三角形ＡＥＦ、三角形ＣＤＥはともに全体の1/6

角形ＡＥＦ、三角形ＣＤＥはともに

	全体の	1	です。
		6

ＧがＢＣの真ん中の点になる

	三角形ＡＢＣも全体の	1	ですが、
		6

ＧがＢＣの真ん中の点になりますので、

	三角形ＡＢＧは全体の	1	×	1	＝	1	です。
		6		2		12

三角形ＧＣＥが全体に占める割合
四角形ＢＣＥＦは

	全体の	4	＝	2	になりますので、
		6		3

三角形ＧＣＥは

	全体の	2	×	1	×	1	＝	1	です。
		3		2		2		6

したがって、三角形ＡＧＥの面積は、

	1 - (	1	×	3 ＋	1	) ＝	5	倍
		6			12		12

になります。

	答え	5	倍
		12

（２）

正六角形の１辺の長さを④とした場合の図
正六角形の１辺の長さを④とします。Ｇを通りＢＦに平行な直線とＡＤの交点をＭとすると、図より、ＡＭ＝ＭＤ＝④となります。
また、三角形ＢＧＬと三角形ＪＭＬは相似なので、ＢＧ＝②よりＪＭ＝①になります。
よって、ＡＪ＝⑧－⑤＝③
ＢＧ：ＡＪ＝２：３になります。

答え　２：３

正六角形の１辺の長さを④とした場合の図
また、ＡＪとＦＥが平行なので、三角形ＡＪＫと三角形ＥＦＫも相似です。
ＡＫ：ＫＥ＝ＡＪ：ＥＦとなるので、
ＡＫ：ＫＥ＝３：４です。

答え　３：４

（３）

ＡＩ：ＩＨの比を求める
ＡＥとＢＤは平行で、またＧとＨはともに辺の真ん中の点なので、
ＡＥとＧＨも平行になり、ＧＨはＡＥの半分の長さです。
（２）よりＡＫ：ＫＥ：ＡＥ＝３：４：７、ＡＥ：ＧＨ＝２：１
ＡＫ：ＫＥ：ＡＥ：ＧＨ＝６：８：14：７となり、
ＡＫ：ＧＨ＝６：７です。
三角形ＡＫＩと三角形ＧＨＩは相似なので、ＡＩ：ＩＨ＝６：７になります。

三角形ＡＥＧの面積と三角形ＡＥＨの面積は等しい
ＡＥとＧＨが平行なので、三角形ＡＥＧの面積と三角形ＡＥＨの面積も等しくなります。

	これは正六角形の	5	倍なので、
		12

	12×	5	＝５㎠です。
		12

三角形ＡＩＫの面積は、

	三角形AHE×	AI	×	AK
		AH		AE

で求められますので、

	5×	6	×	3	＝	90
		13		7		91