【ポイント№39】「円と直線は１点で垂直に接する」

パッと見て、円が動く長さは頂点と頂点の間の長さじゃないかな？と思いませんでしたか。

実際に動かしてみると、頂点の手前で円がひっかかるため、端まで動かすことはできません。

頂点の部分を拡大すると、下の図のようになっています。

つまり、円が直線と接する時は必ず１点で接することになり、図形の角に来たときは隣り合う２つの辺と同時に接することになります。
そこで、接する点と円の中心を結ぶ補助線を引きます。

円が直線と接する（１点で交わる）とき、直線と円の半径は垂直になります。その結果、△ＯＰＡと△ＯＰＢは合同になります。（なぜなら、ＯＡ＝ＯＢ、角ＯＡＰ＝角ＯＢＰ＝直角、ＯＰ共通）
したがって、ＡＰ＝ＰＢとなります。

また、この時円は下の辺とも接していますので、次のような状態にもなっています。

先ほどと同様に、△ＯＡＱと△ＯＣＱも合同になるため、ＡＱ＝ＣＱです。
したがって、円が動ける範囲は下の図のＣＤ部分になります。
※Ｄは上の図のＢ、Ｒは上の図のＰと同じ位置関係です。

ＣＤ＝８－（ＱＣ＋ＤＲ）
ＱＣ＝ＱＡ、ＤＲ＝ＰＢ＝ＰＡ　より、
ＣＤ＝８－（ＱＡ＋ＰＡ）
　　＝８－ＰＱ
　　＝８－４
　　＝４㎝

円が動いた部分の面積は、長方形＋半円×２となります。

ポイントを使って開成・筑駒・灘の問題を解こう！

【解説】

（１）円が動いた部分がわかるように図を描きます。

ここに、円と接する点、そしてその点と円の中心を結ぶ半径を書き加えます。 　←ポイント№39

△ＡＰＤと△ＡＰＩが合同なので、ＡＤ＝ＡＩ
△ＢＱＥと△ＢＱＦが合同なので、ＢＥ＝ＢＦ
△ＣＲＧと△ＣＲＨが合同なので、ＣＧ＝ＣＨ＝２㎝
また、ＡＢとＰＱ、ＢＣとＱＲ、ＣＡとＲＰがそれぞれ平行なので、
△ＡＢＣと△ＰＱＲは相似形になり、ＰＱ＝ＤＥ、ＱＲ＝ＦＧ、ＲＰ＝ＨＩとなっています。

そこで、ＡＤ＝ＡＩ＝○㎝、ＢＥ＝ＢＦ＝△㎝
　　　　ＰＱ＝ＤＥ＝５㎝、ＱＲ＝ＦＧ＝４㎝、ＲＰ＝ＨＩ＝３㎝
とすると、

ＱＲ＝（16－２－△）㎝＝４㎝
ＲＰ＝（12－２－○）㎝＝３㎝
ＰＱ＝（20－○－△）㎝＝５㎝
ＱＲ＋ＲＰ＝（24－○－△）＝７㎝
（24－○－△）－（20－○－△）＝４＝７－５＝２㎝
したがって、１＝２㎝となり、ＰＱ＝10㎝、ＱＲ＝８㎝、ＲＰ＝６㎝
○＝４㎝、△＝６㎝となるので、
△ＰＱＲの面積は、８×６÷２＝24㎠です。

答え　(1)24㎠

円が動いた部分の面積は次のように分けられます。

３つのおうぎ形＋３つの長方形＋（直角三角形－△ＰＱＲ） ・３つのおうぎ形 　半径は１㎝、中心角の和は、
　360×３－90×６－180＝360°　より、
　１×１×3.14＝3.14㎠
・３つの長方形 　１×｛20＋16＋12－（４＋６＋２）÷２×２｝＝36㎠
・直角三角形－△ＰＱＲ 　12×９÷２－24＝30㎠
したがって、3.14＋36＋30＝69.14

答え　（２）69.14㎠

前回のチャレンジ問題の答え

【解説】

今回は例以外の分け方を５つ答えればよいので、例を参考にして他の分け方を考えていきます。
たとえば、例の①の長方形をもう少し大きくすることはできないか？と考えていきます。くっつけた時の図から考えると良いでしょう。

あとは実際に切った形にもっていきます。

これで２通り見つかりました。
もう少し楽して答えを見つけていきましょう。
②と③の部分をうまく組み替えてもよさそうですね。

これはできるでしょうか？

無事分けられました。
ということは、もう１つの小さい長方形も３×３のほうにうつすと…

となります。これはどうでしょうか？

これもできました。残り１つです。４×４の正方形はもう分けないとすると、３×３を作る長方形を１マス動かします。

これは下のようになります。

これで５通りできました。
このように、例で与えられたものを参考にしていくと比較的楽に他の組み合わせを求めることができます。しかし、全ての組み合わせを答える場合は、きちんと場合分けをして考えていく必要があります。

答え　解説の５つ

※他に次のような分け方もあります。

まだまだありますので、探してみてください。

ポイントが確認できるチャレンジ問題

※解答解説は次回掲載いたします。