【ポイントNo.20】「交点は対角・垂直切りで解決」

まずは、立方体の切断と同様に同じ面にある２つの切り口の点を結びましょう。

これ以上切り口を結ぶことはできません。
立方体の切断の場合、向かい合う
平行な面では切り口の線も平行になる、という特徴を使って書き進めることができました。 しかし、角すいの場合向かい合う側面（例えば三角形ＯＡＢと三角形ＯＣＤ）は平行ではありませんので、この方法が使えません。
そこで、底面の対角線に沿って垂直に角すいを切断して考える、という新たな方法を取り入れます。

この四角すいを、三角形ＯＢＤを通る平面で切断します。

すると、直線ＥＦが切り口の一部になっていることがわかります。
ＯＥ：ＥＢ＝ＯＦ：ＦＤ＝３：１より、三角形ＯＢＤと三角形ＯＥＦは相似形です。

底面の四角形ＡＢＣＤは正方形なので、ＯからＢＤに垂直に下ろした直線とＢＤとの交点はＢＤの真ん中の点Ｐになります。

ＯＰとＥＦの交点をＱとすると、
ＯＱ：ＱＰ＝３：１、ＥＱ：ＱＦ＝１：１になります。

次にこの四角すいを、三角形ＯＡＣを通る平面で切断します。

四角形ＡＢＣＤは正方形なので、ＢＤの真ん中の点ＰはＡＣの真ん中の点でもあります。
そこで、直線ＯＰと点Ｑを書き加えます。。

すると、ＡもＱも切り口の一部の点になりますので、ＡＱの延長線とＯＣの交点がＧになることがわかります。

あとは三角形ＯＡＣ上で考えます。
ＡＧの延長線と、Ｏを通りＡＣに平行な直線との交点をＲとします。

ＡＰ＝①とすると、三角形ＱＡＰと三角形ＱＲＯが相似形で、ＯＱ：ＱＰ＝３：１より、ＡＰ：ＲＯ＝１：３となり、ＯＲ＝③になります。
また、三角形ＧＡＣと三角形ＧＲＯも相似形で、ＡＣ：ＲＯ＝ＣＧ：ＧＯとなります。
ＡＣ＝②より、ＣＧ：ＧＯ＝２：３となります。

【ポイントNo.21】「切り口の延長線上に新たな交点」

底面が三角形の場合、対角線がありませんので、切り口の線を延長し、新たな交点を見つけ出す方法が良いでしょう。

まずは、同じ面にあるＰとＱ、ＰとＲを結びます。

ＰＱの延長線とＢＤの延長線の交点をＥとします。

すると、ＥとＲは同じ面上にありますので、切り口として結ぶことができ、ＥＲとＢＣの交点が求める点Ｓになります。

ＢＳの長さを求めるために、三角形ＡＢＤと三角形ＢＣＤの図を描いて考えます。
このあたりは、第８回立体図形必勝法①（影）で説明したポイントNo.19「立体は上・横の２方向で見る」と同じ考えによるものです。

Ｐを通り、ＢＤと平行な直線とＡＢの交点をＦとします。
三角形ＡＰＦと三角形ＡＤＢが相似形なので、ＡＢ：ＡＦ＝ＢＤ：ＦＰ＝３：１となり、ＡＦ＝ＦＰ＝２㎝です。
また、三角形ＱＰＦと三角形ＱＥＢも相似形になり、ＦＱ：ＱＢ＝ＦＰ：ＢＥ＝１：２となります。 したがって、ＢＥ＝２㎝になります。

Ｃを通り、ＢＤと平行な直線とＥＲの交点をＧとします。
三角形ＲＥＤと三角形ＲＣＧが相似形なので、ＲＤ：ＲＣ＝ＥＤ：ＧＣ＝１：１となり、ＣＧ＝８㎝です。
また、三角形ＳＥＢと三角形ＳＧＣも相似形になり、ＥＢ：ＧＣ＝２：８＝１：４より、ＳＢ：ＳＣ＝１：４になります。
これで、ＢＳの長さを求めることができます。

【ポイントNo.22】「角すいのてっぺんは辺の比の積」

このポイントは、平面図形の面積比で出てくる内容を立体図形に発展させたものです。
段階的に説明していきます。

①　頂点を共有する三角形の面積比は、左右の辺の比の積になる。

＝三角形ＯＣＤ

②　頂点を共有する三角すいの体積比は、３つの辺の比の積になる。

＝三角すいＯＤＥＦ

この２つは重要です。ぜひおぼえておきましょう。
では、問題のような四角すいはどうなるでしょうか。

先ほどの三角すいと同様に考えて、

＝四角すいＯＥＦＣＤ
になるとは限りません。
四角すいは底面の形や切断面の位置によって、この公式があてはまらない場合があります。
そこで、公式が使える三角すいに切り分けることで対応していきます。

四角すいＯＡＢＣＤを対角線ＢＤに垂直な面で２つに分けます。

これにより、

＝三角すいＯＥＦＤ

＝三角すいＯＥＦＤ

になります。

三角すいＯＡＢＤ，ＯＢＣＤはともに

になりますので、

したがって、四角すいＯＥＦＣＤの体積は

求めるのは下側の体積なので、全体（１倍）から引いて求めましょう。

そして、体積の求め方にはもう一つの方法があります。
そちらを次のポイントで説明します。

【ポイントNo.23】「垂直切断で切断三角柱を作ろう」

三角柱をある平面で切断した、「切断三角形」（断頭三角柱と教える場合もあります）には、体積の公式があります。

切断三角柱の体積
底面積×３か所の高さの平均
底面積×（Ｘ＋Ｙ＋Ｚ）÷３

この形を使うためには、３つの高さの直線がすべて平行であり、底面と高さが垂直に交わっている、という２つの条件を満たす必要があります。

では、問題の立体を見てみましょう。

ＡＢとＤＣとＥＦが平行なので、この３つが高さになりそうです。
しかし、ＡＢ・ＤＣ・ＥＦはどれも面ＡＤＥ，面ＢＣＦとは垂直に交わっていません。
つまり、この立体は切断三角柱ではありません。

そこで、「鳴かぬなら鳴かせてみようホトトギス」ではありませんが、
「切断三角柱でなければ切断してみよう」と発想します。
この立体を３つの高さに垂直な面で切り分けます。
お寿司の太巻きを真ん中で２つに切り分けるイメージです。
ＡＢとＤＣの真ん中の点をそれぞれＧ、Ｈとし、Ｏ・Ｇ・Ｈを通る面で切断します。
そして、ＯＧとＥＦの交点をＩとします。

三角形ＯＡＢ、三角形ＯＣＤはともに正三角形なので、ＯＧとＡＢ、ＯＨとＤＣは垂直に交わることになります。
そして、ＡＢとＥＦが平行なので、ＯＩとＥＦも垂直に交わります。
これで、切断三角柱の条件が整いました。

この切断をすることで、もとの立体である四角すいＯＡＢＣＤも、２つの切断三角柱に切り分けられています。
ＡＢ＝６㎝とすると、ＡＧ＝３㎝になります。
また、ＯＡ：ＯＥ＝３：２より、ＥＦ＝４㎝で、ＥＩ＝２㎝になります。

まずは底面積を比べます。

ＩＧ：ＯＧ＝ＥＡ：ＯＡ＝１：３より、
底面積の比は１：３です。

次に高さの平均を比べます。

（３＋３＋２）÷３：（３＋３＋０）÷３＝４：３になります。
体積の比は、底面積の比と高さの平均の比の積になりますので、
１×４：３×３＝４：９になります。

のように角すいの切断において、体積を求める方法は２種類あります。
どちらの方法を使えば良いのか？ですが、
１つの頂点を共有する「～すい」の立体である⇒ポイントNo.22
平行な直線が３本ある⇒ポイントNo.23
が一つの目安になります。

今回のポイントは立方体の切断でも使うことができますので、開成・灘・筑駒を目指す受験生はぜひ身につけておきましょう。