第２１回 図形の切り分け②～畳の敷き詰め～
今後の目次
第21回 図形の切り分け②～畳の敷き詰め～ ← 今週はココ！
第22回 図形の切り分け③～いろいろな形に切る～
第23回 円の転がり
今回は畳を敷き詰める問題です。形の決まったものを決められた場所に何通りの入れ方があるのかを考えます。一つ一つ調べていけば良いのですが、どうやって上手く調べていくのかが問題です。まさに、「②解答にたどり着くまでの作業量が膨大で、効率良い解き方が見つかりにくく難しい。」という難しさです。
今回は、このような畳の敷き詰め問題についてのポイントをご紹介いたします。
ポイントが身につく問題実践講座
問題
１㎝×２㎝の長方形の紙がたくさんあります。
これらを２㎝×３㎝の長方形の上に、重なることもはみ出すこともすきまを作ることもなくならべると、（例）のように３通りの置き方があります。
(例)
では、１辺1㎝の正方形16個でできた（図１）の図形の上への置き方は何通りありますか。
（図１）
（２００６ 算数オリンピックトライアル）
【解くための考え方】
まずは、先ほどの問題を直接お子様に解かせてみてください。
どうでしたか？正解にたどりつけたでしょうか？
正解できなかった場合、どこまで解き進めることができたのかが重要です。
動かし方はわかってもどうやって全ての動かし方を整理していくかが難しいところです。
今後受験Dr.では、「難問攻略イメージde暗記ポイント」カードを作成する予定です。
今回は、図形の動かし方と組み合わせを考えていくためのポイントを１つご紹介します。
今回使うポイント
- 図形の組み合わせの調べ方がわかりにくい
⇒【ポイント№37】「図形の調べ上げは特徴のある場所から」
【ポイント№37】「図形の調べ上げは特徴のある場所から」
端から順番に入れてみて調べていくのもＯＫですが、限られた入れ方しかできない場所に注目すると、組み合わせが少なくなり効率的に調べられます。
正方形・長方形などの整った形では、隅から詰めていくのが一般的です。しかし、今回の問題のような図形では隅よりも狭くなっている場所に注目していくと良いです。具体的には下の部分になります。
この部分が狭くなっており、またちょうど図形の曲がり角にもなっています。
ここがちょうど長方形の端になるか（図２）、ここを長方形が通るのか（図３）で、並べ方が大きく分けられます。
図２
図３
ここからはそれぞれの場合に分けて考えます。
（ア）図２の場合
まずは左側の２㎝×４㎝の長方形を考えます。
スムーズに解くため問題にある（例）を使います。
２㎝×３㎝の場合３通りの並べ方がありました。その右横に縦に並べる並べ方が３通りあります。
右端が縦になる並べ方はこの３通りだけです。
あとは右端が横２列になる並べ方を考えると、下の２通りあります。
合わせて５通りになります。
右側の４㎝×２㎝の長方形の並べ方も、左側の長方形と同じ５通りになります（90度回転させたもの）。
したがって、この場合の並べ方は５×５＝25通りになります。
（イ）（図３）の場合
まずは、一番左の２㎝×３㎝ですが、これは問題文の（例）と同じなので３通りです。
次に、真ん中の２㎝×２㎝の正方形ですが、縦２枚には並べられませんので、下のような並べ方だけになります。
最後に、右側の図形です。
右下の部分には縦向きに並べるしかなく、残った形は２㎝×２㎝の正方形ですから下の２通りあります。
したがって、この場合の並べ方は３×１×２＝６通りになります。
場合の数で大切なのは、「全ての組み合わせを調べたので、もう他の組み合わせがない！」と断言できることです。今回は切り分け方で確実に２つの場合に分け、そのあとも重複がないように場合分けしていますので、確実に同じ組み合わせは存在しません。
したがって、２つの並べ方の合計が答えになります。
【正解】
31通り
ポイントを使って開成・筑駒・灘の問題を解こう！
問題
大きな長方形を、２辺の長さが２㎝、３㎝の長方形に余すことなく切り分ける方法について考えます。ただし、まわしたり裏返したりして重なるような方法は、同じものと考えます。次の問いに答えなさい。
（１）大きな長方形が縦６㎝、横７㎝のとき、切り分ける方法は２通りあります。切り分ける線を書き入れなさい。
（２）大きな長方形が縦６㎝、横12㎝の場合、切り分ける方法は何通りありますか。
（２０１２ 筑波大附属駒場中 ４ （一部改題））
【解説】
（１）今回はきれいな長方形に並べていきますので、隅から並べていくことを考えます ←ポイント№37
左上に横向き（２㎝が縦、３㎝が横）に並べる場合と、縦向き（３㎝が縦、２㎝が横）に並べる場合とに分けて考えます。
(ア)横向きに並べる場合
左端の辺を考えると、残り４㎝となっています。ここに長方形を詰める場合、２㎝×２という入れ方しかありえません。したがって、下のように入れることになります。
同様に上の辺を見ると、残り４㎝となっていますので、こちらにも２㎝×２となるような下の入れ方しかないことがわかります。
そうすると、残りの３㎝×４㎝の部分の入れ方も１通りしかないことがわかり、最終的に次の入れ方だけになります。（これをア①とします）
(ア)縦向きに並べる場合
左端の辺を考えると、残り３㎝となっています。ここに長方形を詰める場合、３㎝×１という入れ方しかありえません。したがって、下のように入れることになります。
同様に上の辺を見ると、残り５㎝となっています。こちらには２㎝、３㎝が１枚ずつとなるような下の２通りの入れ方があります。
それぞれの場合、残りの長さが３㎝のところには縦向きに１枚、４㎝のところには横向きに２枚入れるしかありませんので、次のようになります。（上側をイ①、下側をイ②とします）
そうすると全部で３通り並べ方があることになりますが、問題文に「まわしたり裏返したりして重なるような方法は、同じものと考えます」という注意事項があります。ア①とイ①は180度まわすと重なる並べ方です。したがって、答えはア①とイ②、もしくはイ①とイ②のどちらかを答えればＯＫです。
答え (1)解説参照
（２）（１）から、縦が６㎝の場合「横向きに３個縦に並べる」；か「縦向きに２個縦に並べる」かのどちらかになることがわかります。
つまり、横12㎝を2㎝の列と３㎝の列でどう組み合わせるか、を考えれば良いことになります。
・全て２㎝の列にする場合
２＋２＋２＋２＋２＋２ の１通り
・２㎝が３列と３㎝を２列にする場合
２＋２＋２＋３＋３
２＋２＋３＋２＋３
２＋２＋３＋３＋２
２＋３＋２＋２＋３
２＋３＋２＋３＋２
２＋３＋３＋２＋２
３＋２＋２＋２＋３
３＋２＋２＋３＋２
３＋２＋３＋２＋２
３＋３＋２＋２＋２
の10通り考えられますが、180度まわしたり、裏返して同じになるものを重複として除くと、
２＋２＋２＋３＋３
２＋２＋３＋２＋３
２＋２＋３＋３＋２
２＋３＋２＋２＋３
２＋３＋２＋３＋２
３＋２＋２＋２＋３ の６通りになります。
・全て３㎝の列にする場合
３＋３＋３＋３ の１通り
したがって、１＋６＋１＝８通りになります。
答え （２）８通り
前回のチャレンジ問題の答え
問題
縦40㎝、横128㎝の長方形の紙があります。この紙を縦または横の辺に平行に切り、面積が小さい方の紙を捨て、大きい方の紙だけを残します。２枚の紙の面積が同じ場合には、どちらか一方を残します。この操作を１回とかぞえ、残った長方形の紙に対して、同じ操作をくり返し行います。何回かの操作の後、残った紙が正方形になるようにするとき、次の問いに答えなさい。
（１）３回の操作で、１辺の長さがもっとも短い正方形になるようにしました。この正方形の１辺の長さを答えなさい。
（２）13回の操作で、１辺の長さがもっとも短い正方形になるようにしました。このとき、捨てた紙の面積の合計を答えなさい。
（２００１ 筑波大学附属駒場中学1改題）
【解説】
（１）１辺の長さを最も短くするには、辺の真ん中で切ることになります。そこで、縦と横の辺の真ん中で切った回数とその時の辺の長さを表にしていきます。
２回切ったときの長さを考えます。
(ア)「縦向きに２回切る」と、縦40㎝、横32㎝になります。
ここからもう１回切って正方形を作るとすると、縦の長さ32㎝のところで切断すれば良いことがわかります。
(イ)「縦向きに１回横向きに１回切る」と、縦20㎝、横64㎝になります。
ここからもう１回切って正方形を作ることは、64÷２＝32となるため不可能です。
（ウ）「横向きに２回切る」と、縦10㎝、横128㎝になります。
こちらも（イ）と同様に、ここからもう１回切って正方形を作ることは不可能です。
したがって、３回切ってできる最も短い正方形の１辺は32㎝です。
答え （１）32㎝
（２）（１）からわかったことは、13回切って正方形にするためには、 12回切ったときに、長いほうの辺の長さが短いほうの辺の長さの２倍より短くなっていないといけない、ということです。 その点に注意して先ほどの表を考えていきます。 （ア）「縦向きに６回横向きに６回切る」と、縦0.625㎝・横２㎝となり、 0.625×２＝1.25より横が長いのでダメです。 （イ）「縦向きに７回横向きに５回切る」と、縦1.25㎝、横１㎝となり、 1×２＝２より1.25のほうが短く条件を満たします。 したがって、このあと13回目の切断で縦が１㎝となるように切ると、１辺の長さがもっとも短い正方形になります。 最後に残る正方形の１辺の長さは１㎝なので、捨てた紙の面積の合計は、40×128－１×１＝5120－１＝5119㎠です。
答え （２）5119㎠
ポイントが確認できるチャレンジ問題
問題
２辺の長さが１㎝と2㎝である長方形を、下の図のような２辺の長さが５㎝と４㎝の長方形の上に、重なることもはみ出すこともすきまを作ることもなく並べると、全部で何通りの置き方がありますか。
ただし、まわしたり裏返したりして重なるような並べ方は、同じものと考えます。
（受験Dr.オリジナル問題）
※解答解説は次回掲載いたします。