今後の目次

第17回　立体の展開図　← 今週はココ！
第18回　複雑な設定の文章題を読み解く
第19回　正三角形を動かす

今回は、立体の展開図です。
立方体だけではなく正多面体などいろいろな立体の展開図を用いた問題もよく出題されます。
もとの立体に復元するときにどのような手法を使えばよいのか、今回はそのポイントを説明してまいります。

ポイントが身につく問題実践講座①

【解くための考え方】
まずは、先ほどの問題を直接お子様に解かせてみてください。

正解はこちら

どうでしたか？正解にたどりつけたでしょうか？
正解できなかった場合、どこまで解き進めることができたのかが重要です。
複雑な立体になれば、頭の中で想像して組み立てることが難しくなってきます。
どうすれば立体をとらえることができるでしょうか。

今後受験Dr.では、「難問攻略イメージde暗記ポイント」カードを作成する予定です。
今回は、立体の展開図の特徴をとらえるためのポイントを１つご紹介します。

ポイントが身につく問題実践講座②

正解はこちら

【解くための考え方】

この問題も、先ほどのポイントを使って考えていきます。
複数ある選択肢の中から選ぶときは、共通部分を考えていくと効率よく調べられます。

①　立体の各頂点に記号をつける

②　全ての展開図に共通する部分をなるべく大きく取る
③　共通部分に頂点をつけていく。
今回は、一番左の三角形をＡＢＣとします。

④　それぞれの展開図を調べていく。

開成・筑駒・灘の問題で今日のポイントを使う

【解説】

立体としては、問題①と同じ形です。問題②で説明した、共通部分を考えてからそれぞれの展開図を考えていきましょう。←ポイントNo.34
その前に、それぞれの展開図に正三角形と正方形がいくつあるか数えてみます。

この立体の面の数は、正方形が６つ、正三角形が８つになります。
（正方形はもとの立方体の面の数だけあり、正三角形はもとの立方体の頂点の数だけあります。）
すると、オは正三角形が７つ、カは正三角形が９つあるので、この段階で間違っていることがわかります。

残ったア～エについて共通部分を考え、頂点を書いていきます。
頂点の記号は、問題①のものを使います。

ここに、正三角形と正方形を１枚ずつくっつけていきます。

正三角形から考えます。
アとエは、正方形ＡＨＩＥと辺ＡＥで、
イとウは、正方形ＡＨＩＥと辺ＡＨでくっついています。

辺ＡＥでくっつけた場合、その正三角形はＡＥＢになり、
辺ＡＨでくっつけた場合、その正三角形はＡＨＤになります。

しかし、正三角形ＡＥＢはすでに左端にくっついていますので、
辺ＡＥに正三角形がくっつくことはありません。

ここでアとエは間違いだとわかります。
最後にくっつける正方形を考えます。
イは正三角形ＡＨＤと辺ＡＤでくっつく正方形になりますので、
正方形ＡＤＣＢになります。
ウは正三角形ＥＩＪと辺ＥＪでくっつく正方形になりますので、
正方形ＥＪＦＢになります。

正方形ＡＤＣＢはすでに左上にくっついていますので、
辺ＡＤに正方形がくっつくことはありません。

よってイは間違いとなり、正解はウになります。

答え　ウ

前回のチャレンジ問題の答え

【解説】

（１）
０から見て右下方向に並ぶ数字を書き出してみると、０、４、１６となっています。
規則を考えるためにもう１つ右下に進んだマスの数字を書き出していくと、３６になります。

ここで、４、１６、３６の共通点を考えてみましょう。
正これらは全て平方数（同じ数字を２つかけた答え）になっています。
４＝２×２．１６＝４×４、３６＝６×６
つまり、０からみて右下に並ぶ数字は偶数の平方数になります。

したがって、右下に８個進んだ数字は１６×１６＝２５６になります。

答え　２５６

（別解）０、４、１６、３６…のとなり合う数字の差を調べると、
４、１２、２０となっており、これは差が８の等差数列になります。
したがって、３６＋（２０＋８）＝６４
６４＋（２８＋８）＝１００
１００＋（３６＋８）＝１４４
１４４＋（４４＋８）＝１９６
１９６＋（５２＋８）＝２５６
となります。

（２）
（１）と同様に、０から見て左上の数字を並べると、０、８、２４となります。
この次にくる数字を書き出すと４８になります。
０、８、２４、４８…　のとなり合う数字の差を取ると
８、１６、２４…と、こちらも差が８の等差数列になります。
したがって、
４８＋（２４＋８）＝８０
８０＋（３２＋８）＝１２０
１２０＋（４０＋８）＝１６８
１６８＋（４８＋８）＝２２４
２２４＋（５６＋８）＝２８８
よって、求める数は２８８になります。

答え　２８８

（別解）８、２４、４８をかけ算の形にすると、
８＝２×４
２４＝４×６
４８＝６×８、
と連続する偶数の積になっています。
したがって、０から左上に８個進んだ数は、
１６×１８＝２８８になります。

（３）
（１）と（２）の結果から５５５がどこにあるかを考えます。
５５５に近い偶数の平方数は、
２２×２２＝４８４
２４×２４＝５７６
また、５５５に近い、連続する偶数の積は、
２２×２４＝５２８
２４×２６＝６２４
より、０から１１個左上に進んだ５２８と、０から１２個右下に進んだ５７６の間にあることがわかります。

これを図にすると次のようになります。

５５５の正確な位置を把握するために、０から右上に並ぶ数字の規則を考えます。
０から見て右上の方向には、０、２、１２、３０と並びます。
となり合う数字の差を取ると、２、１０、１８…をこれも差が８の等差数列です。

したがって、０から右上に１２個進んだ場所にある数字は、
３０＋（１８＋８）＝５６
５６＋（２６＋８）＝９０
９０＋（３４＋８）＝１３２
１３２＋（４２＋８）＝１８２
１８２＋（５０＋８）＝２４０
２４０＋（５８＋８）＝３０６
３０６＋（６６＋８）＝３８０
３８０＋（７４＋８）＝４６２
４６２＋（８２＋８）＝５５２

５５２となります。

これを先ほどの図に加えると、

５５５は５５２から下に３マス進んだところにあります。
あとは、５５５の右マスの数字を考えるため、もう１周り外側を図に書き加えます。

５５２＋（９０＋８）＝６５０
０から右上に１３マス進んだところの数字は６５０になります。

したがって、５５５のとなりのマスは上の図のとおりになります。

答え

今日のポイントを使って問題にチャレンジ！

※解答解説は次回掲載いたします。